前情概要
以前的高考题目，对数列的考查难度比较小，所以我们一般不过多的介绍求数列通项公式的方法，但现在情况有变，随着新高考改革的题型变化，有必要收集整理求数列通项公式的特征方程法。
特征方程法
特征方程法主要适用于二阶线性齐次递推关系，形如 $a_{n+2}$$=$$p\cdot$$a_{n+1}$$+$$q\cdot$$a_n$，其中 $p$、$q$ 为常数，且 $q\neq 0$ 。
具体操作步骤：
1.构造特征方程，将递推式中的下标视为次数，即可得到方程：
$x^2$ $=$ $p\cdot x$ $+$ $q$，整理为 $x^2$ $-$ $p\cdot x$ $-$ $q$ $=$$0$；
2.求特征根，解特征方程得到根 $x_1$、$x_2$；
3.根据根的类型写通项公式：
若有两个不同实根，则通项公式为： $a_n$$=$$C_1$$\cdot x_1^n$$+$$C_2$$\cdot x_2^n$；
若有两个相同实根，则通项公式为： $a_n$$=$($C_1$$+$$C_2$$n$)$\cdot x_1^n$；
若无实根，即有共轭复根，需转化为三角函数形式，高中较少见，几乎不需要了解。
4.利用初始条件求常数 $C_1$、$C_2$，代入上式即可得到通项公式；
典例剖析
一、有两个不同实根的情形，
例题1、已知数列满足递推关系：$a_{n+2}$$=$$5a_{n+1}$$-$$6a_n$，且 $a_1=1$，$a_2=5$ ，求通项公式 $a_n$ 。
解法1：先写出特征方程，为 $x^2$$=$$5x$$-$$6$，整理为 $x^2$$-$$5x$$+$$6$$=$$0$，
再解特征方程，求得特征根：$x_1$$=$$2$ ， $x_2$$=$$3$，
从而写出通项形式，$a_n$$=$$C_1$$\cdot$$2^n$$+$$C_2$$\cdot$$3^n$，
将 $a_1=1$，$a_2=5$ 代入上述方程，即得到方程组 $\begin{cases}1=C_1\cdot2+C_2\cdot3\\5=C_1\cdot4+C_2\cdot9\end{cases}$，
解之得，$C_1$$=$$-1$，$C_2$$=$$1$，
即所求通项公式为：$a_n$$=$$-2^n$$+$$3^n$ $=$ $3^n$$-$$2^n$ .
解法2：待定系数法，高中阶段我建议掌握这个方法。
将递推式改写为 $a_{n+2}$$+$$p\cdot$$a_{n+1}$$=$$k\cdot$$(a_{n+1}+p\cdot a_n)$，
将上式展开并整理，得到：$a_{n+2}$$+$$(p-k)$$a_{n+1}$$-$$k\cdot$$pa_n$$=$$0$，
与原递推式 $a_{n+2}$$-$$5a_{n+1}$$+$$6a_n$$=0$ 对比，得方程组：$\begin{cases}p-k=-5\-kp=6\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}k=3\\p=-2\end{cases}$，或 $\begin{cases}k=2\\p=-3\end{cases}$
此时任选一组解代入即可，此处我们选 $\begin{cases}k=2\\p=-3\end{cases}$，
当 $k=2$，$p=-3$时，递推式变为：$a_{n+2}$$-3a_{n+1}$$=$$2(a_{n+1}-3a_n)$，
令 $c_n$$=$$a_{n+1}$$-3a_n$，则 $c_{n+1}$$=$$2c_n$，即等比数列，公比为 $2$。
由初始条件得到，$c_1$$=$$a_2-3a_1$$=$$5-3\cdot$$1$$=$$2$ $\implies$$c_n=2^n$，
即得到递推关系$a_{n+1}-3a_n=2^n$ ，给两边同时除以 $3^{n+1}$，得到
$\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\cfrac{a_{n}}{3^{n}}=\cfrac{1}{3}\times\cfrac{2_{n}}{3^{n}}$，令 $\cfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=b_{n+1}$，
即 $b_{n+1}-b_n=\cfrac{1}{3}\cdot(\cfrac{2}{3})^n$，再使用 累加法，
解得，通项公式 $a_n=3^n-2^n$ .
二、有两个相同实根的情形，
例题2、已知数列 $\{a_n\}$ 数列满足递推关系：$a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$，且 $a_1=3$ ，$a_2=8$ ，求通项公式。
解法1：先写出特征方程，$x^2$$-$$4x$$+$$4$$=$$0$，即 $(x-2)^2$$=$$0$，
求解得到特征根，$x_1$$=$$x_2$$=$$2$(二重根)，
从而得到通项形式，$a_n$$=$($C_1$$+$$C_2$$n$)$\cdot$$2^n$，
结合初始条件 $a_1=3$ ，$a_2=8$，得到方程组 $\begin{cases}3=(C_1+C_2)\cdot2\\8=(C_1+2C_2)\cdot4\end{cases}$
整理方程组：$\begin{cases}2C_1+2C_2=3\\4C_1+8C_2=8\end{cases}$ ，解得 $C_1=1$ ，$C_2=\cfrac{1}{2}$
由此得到通项公式：$a_n=\left(1+\cfrac{1}{2}n\right)\cdot 2^n=2^n+n\cdot2^{n-1}$
解法2：待定系数法，有空再整理 .
例题3、【利用特征方程法求通项公式】已知斐波那契数列 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ ，已知 $F_1=1$ ，$F_2=1$ ，求斐波那契数列的通项公式。
解：由于斐波那契数列是二阶线性齐次递推关系，故其对应的特征方程为：$x^2=x+1$$\quad\Rightarrow\quad x^2-x-1=0$，
利用二次方程的求根公式，求解其特征根：$x_{1,2}=\cfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}（黄金分割数）$
则由特征方程法可知，其通项形式：$F_n$$=$$C_1\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$$+$$C_2\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$，
分别令上式中的 $n=1$ 和 $n=2$，得到方程组
$$\left\{\begin{array}{l}{F_1=C_1\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+C_2\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}\\{F_2=C_1\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+C_2\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2}\end{array}\right.$$
代入初始条件 $F_1=1$ ，$F_2=1$ ，
$$\left\{\begin{array}{l}{1=C_1\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+C_2\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}\\{1=C_1\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2+C_2\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2}\end{array}\right.$$
解方程组，得 $C_1$$=$$\cfrac{1}{\sqrt{5}}$$，$$C_2$$=$$-\cfrac{1}{\sqrt{5}}$，
故其通项公式为：
$$F_n=\cfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$
关键总结
1.特征方程法本质：将递推关系转化为代数方程，利用特征根的线性组合构造通项；
2.初始条件代入：必须用前两项（或其他已知项）确定常数 $C_1$、$C_2$；
3.适用范围：仅适用于二阶线性齐次递推（右侧无额外函数项），$a_{n+2}$$=$$p\cdot$$a_{n+1}$$+$$q\cdot$$a_n$，其中 $p$、$q$ 为常数，且 $q\neq 0$ 。
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