【数据结构】二叉树的性质和存储结构

性质

1. 在二叉树的第i层上至多有2^{i-1}个结点,至少有1个结点

2. 深度为k的二叉树至多有2^{k-1}个结点（k≥1），至少有k个结点

3. 对任何一棵二叉树T，如果其叶子数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为log_2n+1(向下取整)

5. 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第一层到第log_2n+1层，每层从左到右），则对任一结点i，有：

（1）如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点i/2（向下取整）

（2）如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点），否则其左孩子是结点2i

（3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

存储结构

顺序存储

实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树的数据元素

#define MAXSIZE 100
Typedef TElemType SqBiTree[MAXSIZE]
SqBiTree bt;

顺序存储的缺点：浪费空间

最坏情况：深度为k的且只有k个节点的单支树需要长度为2^k-1的一维数组

适合于满二叉树和完全二叉树

链式存储

二叉链表：一个数据域和两个指针域，指向左右孩子

typedef struct BiNode{
    TElemTYpe data;
    struct BiNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针
}BiNode, *BiTree;

在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域

n个结点共有2n个指针域，除根结点外，每个结点有且仅有一个双亲，所以有n-1个结点的指针域存放指向孩子的指针，剩余n+1个指针为空指针

三叉链表：增加一个指针域指向双亲

typedef struct TriNode{
    TElemTYpe data;
    struct TriNode *lchild,*rchild,*parent;//左右孩子指针和双亲指针
}TriNode, *TriTree;