UE5的TRS矩阵

我们知道，常用的transform主要有三种，分别是translate，rotate，scale。接下来我们逐一看下在UE5中，如何分别使用TRS构造相应的矩阵，以及如何从矩阵中提取TRS。

matrix

UE中的矩阵是行主序，x，y，z基向量会以行向量的形式存储在矩阵中。矩阵的数据结构定义很简单，就是一个4x4的template二维数组：

/**
 * 4x4 matrix of floating point values.
 * Matrix-matrix multiplication happens with a pre-multiple of the transpose --
 * in other words, Res = Mat1.operator*(Mat2) means Res = Mat2^FArg * Mat1, as
 * opposed to Res = Mat1 * Mat2.
 * Matrix elements are accessed with M[RowIndex][ColumnIndex].
 */

template
struct alignas(16) TMatrix
{
	static_assert(std::is_floating_point_v, "T must be floating point");

public:
	using FReal = T;

	alignas(16) T M[4][4];
};

translate

UE提供了TTranslationMatrixstruct来辅助构造平移矩阵。

template
FORCEINLINE TTranslationMatrix::TTranslationMatrix(const TVector& Delta)
	: TMatrix(
		TPlane(1.0f,		0.0f,	0.0f,	0.0f),
		TPlane(0.0f,		1.0f,	0.0f,	0.0f),
		TPlane(0.0f,		0.0f,	1.0f,	0.0f),
		TPlane(Delta.X,	Delta.Y,Delta.Z,1.0f)
	)
{ }

这里，TPlane可以理解为一个简单的4维向量，可以看到平移向量Delta位于第4行，那么需要行向量右乘该矩阵，才能达到平移的结果。
( p x , p y , p z , 1 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ) = ( p x + t x , p y + t y , p z + t z , 1 ) (p_x, p_y, p_z, 1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ t_x & t_y & t_z & 1 \end{pmatrix} = (p_x + t_x, p_y + t_y, p_z + t_z, 1) (px​,py​,pz​,1) ​100tx​​010ty​​001tz​​0001​ ​=(px​+tx​,py​+ty​,pz​+tz​,1)
那么相应地，从矩阵中提取平移向量也很简单，返回矩阵的最后一行即可。

rotate

除四元数外，UE中还有一个用来专门表示旋转的数据结构，TRotator。它和Unity的欧拉角概念类似，有3个分量，pitch，yaw，roll，分别表示绕这3个轴各自的旋转角度。UE在代码中详细解释了TRotator的定义：

/**
 * Implements a container for rotation information.
 *
 * All rotation values are stored in degrees.
 *
 * The angles are interpreted as intrinsic rotations applied in the order Yaw, then Pitch, then Roll. I.e., an object would be rotated
 * first by the specified yaw around its up axis (with positive angles interpreted as clockwise when viewed from above, along -Z), 
 * then pitched around its (new) right axis (with positive angles interpreted as 'nose up', i.e. clockwise when viewed along +Y), 
 * and then finally rolled around its (final) forward axis (with positive angles interpreted as clockwise rotations when viewed along +X).
 *
 * Note that these conventions differ from quaternion axis/angle. UE Quat always considers a positive angle to be a left-handed rotation, 
 * whereas Rotator treats yaw as left-handed but pitch and roll as right-handed.
 * 
 */
template
struct TRotator
{

public:
	using FReal = T;

	/** Rotation around the right axis (around Y axis), Looking up and down (0=Straight Ahead, +Up, -Down) */
	T Pitch;

	/** Rotation around the up axis (around Z axis), Turning around (0=Forward, +Right, -Left)*/
	T Yaw;

	/** Rotation around the forward axis (around X axis), Tilting your head, (0=Straight, +Clockwise, -CCW) */
	T Roll;
};

首先是pitch，yaw，roll这三个值的含义以及对应旋转的方向。由注释可知，pitch对应绕UE的y轴旋转，yaw对应绕UE的z轴旋转，roll对应绕UE的x轴旋转。

接下来看方向，由注释可知，pitch的正方向表示向上看：

yaw的正方向表示向右转：

roll的正方向为顺时针，在UE中x轴通常被认为是forward向量。

再看旋转顺序，由注释可知，UE定义旋转顺序为先yaw，再pitch，最后roll的内旋旋转顺序。所谓内旋，就是指坐标轴会随着一起旋转，相对的就是外旋了，即绕固定轴旋转。由于内旋可以看作是坐标系一起旋转了，那么被旋转的向量，其实可以认为，在旋转前的坐标系下，和旋转后的坐标系下，坐标其实是相同的。

内旋与外旋的对比图如下：

所以内旋本质上可以拆解为两步，第一步是把初始坐标系变换到经过yaw，pitch，roll之后的坐标系，此时被旋转的向量也跟着变换了；第二步再计算新坐标系下的被旋转的向量，在初始坐标系下的坐标。我们先看一下第一步中的Yaw矩阵，容易知道yaw变换后的坐标系，基向量的坐标分别为：
$$X=(cos\theta ,sin\theta ,0)$$

$$Y=(-sin\theta ,cos\theta ,0)$$

$$Z=(0,0,1)$$

那么yaw变换其实就是把三个基向量变换为：
$$X^{\prime }=(1,0,0)$$

$$Y^{\prime }=(0,1,0)$$

$$Z^{\prime }=(0,0,1)$$

注意UE是行向量右乘矩阵，所以Yaw矩阵为
Y a w = ( c o s α − s i n α 0 0 s i n α c o s α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) Yaw = \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Yaw= ​cosαsinα00​−sinαcosα00​0010​0001​ ​

类似地，可以得到Pitch和Roll矩阵为
P i t c h = ( c o s β 0 − s i n β 0 0 1 0 0 s i n β 0 c o s β 0 0 0 0 1 ) Pitch = \begin{pmatrix} cos\beta & 0 & -sin\beta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\beta & 0 & cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Pitch= ​cosβ0sinβ0​0100​−sinβ0cosβ0​0001​ ​

R o l l = ( 1 0 0 0 0 c o s γ s i n γ 0 0 − s i n γ c o s γ 0 0 0 0 1 ) Roll = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\gamma & sin\gamma & 0 \\ 0 & -sin\gamma & cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Roll= ​1000​0cosγ−sinγ0​0sinγcosγ0​0001​ ​

那么第一步最后得到的坐标系变换矩阵为
$$M=Yaw\cdot Pitch\cdot Roll$$
第二步，需要计算新坐标系下的向量，在初始坐标系下的坐标。依然从基向量出发，新坐标系下的的基向量，显然为
$$X=(1,0,0)$$

$$Y=(0,1,0)$$

$$Z=(0,0,1)$$

初始坐标系的基向量，在新坐标系下的坐标，其实就是M矩阵的三个行向量：
$$X’=M[0]$$

$$Y^{\prime }=M[1]$$

$$Z^{\prime }=M[2]$$

那么向量V，用新坐标系的基向量可表示为
V = ( v x , v y , v z , 0 ) ( X 0 Y 0 Z 0 0 1 ) = ( v x , v y , v z , 0 ) I V = (v_x,v_y,v_z, 0) \begin{pmatrix} X & 0\\ Y & 0\\ Z & 0 \\ \textbf{0} & 1 \end{pmatrix} = (v_x,v_y,v_z, 0)I V=(vx​,vy​,vz​,0) ​XYZ0​0001​ ​=(vx​,vy​,vz​,0)I
而用初始坐标系的基向量可表示为
V = ( v x ′ , v y ′ , v z ′ , 0 ) ( X ′ 0 Y ′ 0 Z ′ 0 0 1 ) = ( v x ′ , v y ′ , v z ′ , 0 ) M V = (v'_x,v'_y,v'_z, 0) \begin{pmatrix} X' & 0\\ Y' & 0\\ Z' & 0 \\ \textbf{0} & 1 \end{pmatrix} = (v'_x,v'_y,v'_z, 0) M V=(vx′​,vy′​,vz′​,0) ​X′Y′Z′0​0001​ ​=(vx′​,vy′​,vz′​,0)M

那么，向量V在初始坐标系下的坐标
$$(v^{}$$