扩展欧几里得算法简介及代码实现
【扩展欧几里得算法简介】
● 扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是欧几里得算法的扩展版本，不仅能计算两个整数的最大公约数（GCD），还能找到满足贝祖等式（Bézout's Identity）ax+by=gcd(a,b) 的整数解 x 和 y。它在数论、密码学等领域有重要应用，例如求解模的逆元、求解线性同余方程等。
● 扩展欧几里得算法求 ax+by=gcd(a,b) 特解的方法如下。
（1）当 b=0 时，由 ax+by=gcd(a,b) 可得 x=1，y=0。
（2）当 b≠0 时，由裴蜀定理知 ax+by=gcd(a,b)，bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b) 。因为 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以 ax+by=bx'+(a%b)y'，即 ax+by=bx'+(a-(a/b)*b)y'=ay'+b(x'-(a/b)*y')。根据恒等定理，知对应项相等，即 x=y'，y=x'-(a/b)*y'。可见 (x,y) 的值基于 (x',y')，所以可以通过递归求解。
● 扩展欧几里得算法求 ax+by=gcd(a,b) 特解的代码
代码一：递归调用时交换 x 与 y 的位置
#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(b==0) {
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main() {
int a,b,x,y;
cin>>a>>b;
int gcd=exgcd(a,b,x,y);
cout<<"x="<代码二：递归调用时保持 x 与 y 的位置不变
#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(b==0) {
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=y;
y=x-(a/b)*y;
x=t;
return d;
}
int main() {
int a,b,x,y;
cin>>a>>b;
int gcd=exgcd(a,b,x,y);
cout<<"x="<● 扩展欧几里得算法求 ax+by=gcd(a,b) 的最小非负解
扩展欧几里得算法求解的是方程 ax+ by=gcd(a,b) 的一组特解 (x0,y0)，该解通常不是最小非负解，而是一个满足等式的任意整数解。通过模运算可将特解调整为最小非负解 xmin=(x0 mod T+T) mod T，其中 T=b/gcd(a,b) 为解的周期。相应地，若 ax+by=c 有整数解，则其最小非负解 xmin=(x0*c/gcd(a,b) mod T+T) mod T。
● 扩展欧几里得算法求 ax+by=c 特解 (x',y')
方程 ax+by=c 有整数解的充要条件为 gcd(a,b) |c。
若 gcd(a,b) |c，即 ax+by=c 有解，先用扩展欧几里得算法求出 ax+by=gcd(a,b) 的特解 (x0,y0)，再乘以 c/gcd(a,b) 得到 ax+by=c 的特解：x'=x0*c/gcd(a,b)，y'=y0*c/gcd(a,b)。
● 扩展欧几里得算法求 ax+by=c 通解
定理：设二元一次不定方程 ax+by=c 有特解 (x',y')，则其通解为： x=x' + kb/gcd(a,b)，y=y' - ka/gcd(c,b)，其中，k∈Z，a, b 是都不为0的整数。
证明：求证过程如下所示。
• 方程ax+by=c有整数解当且仅当gcd(a,b) |c
• 设 x',y' 是 ax+by=c 的一个特解，即：ax'+by'=c。两式相减，得： a(x-x')+b(y-y')=0
因为 a,b 都是非 0 整数，所以上式等价于： (x-x')a/gcd(a,b)+(y-y')b/gcd(a,b)=0
移项得，(y-y')b/gcd(a,b) = -(x-x')a/gcd(a,b)
又因为，gcd(b/gcd(a,b), a/gcd(a,b))=1，所以，可得 b/gcd(a,b) |(x-x')
故可得，x=x'+kb/gcd(a,b)，k∈Z
将 x 代入 a(x-x')+b(y-y')=0，可得 y=y'-ka/gcd(a,b)，k∈Z
● 扩展欧几里得算法与线性同余方程 ax≡c(mod b)
求解线性同余方程 ax≡c(mod b) ⇔求解不定方程 ax+by=c。原因在于，由 ax≡c(mod b) 等价于 ax-c=by，可得 ax-by=c。又由于 y 可以是负数，所以方程ax-by=c 可以改写为 ax+by=c。即 ax≡c(mod b) ⇔ ax+by=c。
（1）方程转化：将线性同余方程 ax≡c(mod b) 转化为不定方程 ax+by=c。
（2）判定解的存在性：若 gcd(a,b)|c，则不定方程 ax+by=c 有解。
（3）求特解：若 ax+by=c 有解，先用扩展欧几里得算法求出 ax+by=gcd(a,b) 的特解 (x0,y0)，再乘以 c/gcd(a,b) 得到 ax+by=c 的特解：x'=x0*c/gcd(a,b)，y'=y0*c/gcd(a,b)。
（4）求通解：同余方程 ax≡c(mod b) 通解形式为 x=x'+kb/gcd(a,b)，k∈Z。当 k=0, 1, …, gcd(a,b)−1 时，有 gcd(a,b) 个模 b 不同余的解。
【参考文献】
https://www.acwing.com/solution/content/278305/
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/129271860
https://www.acwing.com/solution/content/3930/