各种校验码超详细讲解

一、奇偶校验码（Parity Check）

核心思想

在数据末尾加1位比特，让整个数据中1的总个数是奇数或偶数

---

计算方法（以ASCII字符为例）

1. 偶校验（Even Parity）

目标：总1的个数为偶数

步骤	操作
1	统计原始数据中1的个数
2	如果是偶数 → 补0；如果是奇数 → 补1

例子：传输字符 ‘E’（ASCII码 01000101）

• 数据中有 2 个1 → 是偶数
• 校验位 = 0
• 最终发送：01000101 0

2. 奇校验（Odd Parity）

目标：总1的个数为奇数

步骤	操作
1	统计原始数据中1的个数
2	如果是奇数 → 补0；如果是偶数 → 补1

例子：传输字符 ‘A’（ASCII码 01000001）

• 数据中有 2 个1 → 是偶数
• 校验位 = 1
• 最终发送：01000001 1

---

校验过程

接收方收到数据后：

收到数据：11010110 1
统计总共有：1+1+0+1+0+1+1+0 = 5个1 + 校验位1 → 总共6个1（偶数）
→ 符合偶校验 → 认为无错误

⚠️ 局限性

• 只能发现奇数个错误（只有当翻转（0变1，1变0）的比特数为奇数时，奇偶性才会变化，从而被检测到）
• 无法定位错误位置
• 无法检测偶数个错误

为什么奇偶校验码只能检测奇数个错误？

（一）、核心原理

奇偶校验码的本质是通过统计1的总数来判断是否发生错误。当传输过程中出现奇数个比特翻转时，1的总数的奇偶性会改变，从而被检测到；而偶数个比特翻转时，1的总数的奇偶性可能保持不变，导致错误未被发现。

---

（二）、数学推导

1. 假设场景

• 原始数据：有 $N$ 个1（$N$ 为整数）
• 校验方式：偶校验（原理相同，奇校验同理）

错误类型	翻转位数	1的总数变化	奇偶性变化	是否能检测
无错误	0	$N$	不变	❌（无错误）
单比特错误	1	$N\pm 1$	改变	✅
双比特错误	2	$N\pm 2$	不变	❌
三比特错误	3	$N\pm 3$	改变	✅

2. 关键公式

设原始1的个数为 $N$，错误导致翻转的1→0数量为 $a$，翻转的0→1数量为 $b$，则：

• 新1的总数 = $N-a+b$
• 奇偶性变化条件：$a+b$ 为奇数（因为奇偶性只与总数的奇偶性有关）

结论：只有当翻转的比特数（$a+b$）为奇数时，奇偶性才会变化，从而被检测到。

---

（三）、举例说明

场景1：单比特错误（奇数个错误）

• 原始数据：1011（3个1）
• 偶校验位：1（总1的个数为4，偶数）
• 传输后第2位错误：1001
• 接收方检测：总1的个数为3（奇数）→ 检测到错误 ✅

场景2：双比特错误（偶数个错误）

• 原始数据：1011（3个1）
• 偶校验位：1（总1的个数为4）
• 传输后第1位和第3位错误：0001
• 接收方检测：总1的个数为1（奇数）→ 检测到错误 ✅

场景3：双比特错误（偶数个错误但未改变奇偶性）

• 原始数据：1011（3个1）
• 偶校验位：1（总1的个数为4）
• 传输后第1位（1→0）和第4位（0→1）错误：0011
• 接收方检测：总1的个数仍为3（奇数）→ 未检测到错误 ❌

---

（四）、为什么不能检测偶数个错误？

1. 数学解释

当翻转的比特数为偶数时：

• 若同时翻转的1→0和0→1数量相等（如1个1→0和1个0→1），则总1的个数不变。
• 若翻转的1→0比0→1多2个（如2个1→0，0个0→1），总1的个数减少2，奇偶性不变。

2. 直观类比

想象一个天平：

• 奇偶校验就像判断左右两边重量的奇偶性。
• 如果你偷偷在两边各加/减相同重量（偶数个错误），天平看起来还是平衡的（检测不到错误）。
• 如果你在一边加/减奇数个重量（奇数个错误），天平就会倾斜（检测到错误）。

---

（五）、总结

错误类型	奇偶性变化	是否能检测	举例
奇数个错误	✅ 改变	✅ 能检测	1位、3位、5位错误
偶数个错误	❌ 可能不变	❌ 无法检测	2位、4位错误（部分情况）

关键点：奇偶校验码只能检测破坏1的总数奇偶性的错误，而偶数个错误可能恰好抵消奇偶性变化，导致漏检。

---

二、海明码（Hamming Code）

核心思想

通过插入多个校验位，不仅能发现还能定位并纠正单比特错误

---

完整计算流程（以7位数据为例）

1️⃣ 确定校验位数量

使用公式：2^r ≥ n + r + 1
（n=数据位数，r=校验位数）

例子：n=7
尝试 r=3 → 2³=8 < 7+3+1=11 ❌
尝试 r=4 → 2⁴=16 ≥ 7+4+1=12 ✅
→ 需要 4个校验位

---

2️⃣ 插入校验位

校验位放在位置为2的幂的位置（1,2,4,8…）

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
类型	P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4	P4	D5	D6	D7

假设数据：1011011（D1~D7）

---

3️⃣ 计算每个校验位

每个校验位负责一组特定位置（看位置编号的二进制）：

校验位	负责的位置（二进制说明）	实际位置
P1	所有第1位为1的位置	1,3,5,7,9,11
P2	所有第2位为1的位置	2,3,6,7,10,11
P3	所有第3位为1的位置	4,5,6,7
P4	所有第4位为1的位置	8,9,10,11

计算规则：对每组数据位做偶校验

手动计算：

原始数据：D1=1, D2=0, D3=1, D4=1, D5=0, D6=1, D7=1

P1组：3(1),5(0),7(1),9(0),11(1) → 有3个1 → 需补1 → P1=1
P2组：3(1),6(1),7(1),10(1),11(1) → 有5个1 → 需补1 → P2=1
P3组：5(0),6(1),7(1) → 有2个1 → 需补0 → P3=0
P4组：9(0),10(1),11(1) → 有2个1 → 需补0 → P4=0

最终编码：P4 P3 P2 P1 D5 D6 D7 → 0 0 1 1 0 1 1

---

4️⃣ 错误定位

接收方重新计算各校验位，若结果不一致则标记为1：

假设第5位出错（D2=0变成1）

校验位	实际值	接收方计算值	差异
P1	1	0	1
P2	1	1	0
P3	0	1	1
P4	0	0	0

错误位置 = P4’ P3’ P2’ P1’ = 0 1 0 1 = 5 → 第5位错误！

---

三、循环冗余码（CRC）

核心思想

用多项式除法生成冗余码，检测数据传输中的突发错误

---

完整计算流程（以CRC-4为例）

1️⃣ 选择生成多项式

CRC-4：G(x) = x^5 + x^2 + x + 1 → 二进制 100111（6位）

---

2️⃣ 发送端计算

步骤1：数据后加k个0（k=多项式次数）

原始数据：101111001010
添加4个0 → 1011110010100000

步骤2：模2除法（二进制除法，不借位）

用数据除以生成多项式：

步骤3：余数作为校验码追加

余数 = 00000 → 发送完整数据：1011110010100000

---

3️⃣ 接收端验证

对接收到的数据用相同多项式做模2除法：

• 余数全0 → 无错误 ✅
• 余数非0 → 出现错误 ❌

---

四、对比总结表

类型	校验能力	纠错能力	传输效率	典型应用场景
奇偶校验	单比特错误	无	高	内存校验、ASCII字符传输
海明码	单比特错误	单比特纠错	中	航天通信、内存ECC
CRC	多比特/突发错误	无	低	网络传输（WiFi/以太网）

---

五、记忆口诀

奇偶校验像开关，1多补0少补1；
海明校验插空位，2的幂位放校验；
CRC就像长除法，模2运算不用借；
数据传输要可靠，校验码来把关牢！

---

六、常见标准CRC多项式

标准	生成多项式（二进制）	应用场景
CRC-16	11000000000000101	数据链路层（PPP协议）
CRC-32	100000100110000010001110110110111	以太网、ZIP文件
CRC-CCITT	10001000000100001	X.25协议