算法设计与分析——回溯法

目录

1.回溯法基本思想

2.回溯法的算法框架

2.1问题的解空间

2.2剪枝函数的分类和设计

2.3回溯法的求解过程

2.4回溯法的时间复杂性

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1.回溯法基本思想

回溯法是一种用来寻找问题所有解的通用算法。其思想为：能进则进，进不了退，换条路再试。

回溯法步骤如下：

1）针对所给问题，定义问题的解空间。

2）确定易于搜索的解空间结构。

3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。（通常采用两种方式避免无效搜索：1.用约束条件减去得不到可行解的子树。2.用目标函数减去得不到最优解的子树。

2.回溯法的算法框架

2.1问题的解空间

解空间是进行穷举的搜索空间，所以解空间包含了所有的可能解。

确定正确的解空间很重要，如果没有确定正确的解空间就开始进行搜索，可能会造成增加很多重复解，或者根本搜索不到正确的解。

解空间的组织结构一般是由树或图形式表示，常用的典型解空间树是子集树和排列树。

子集树：当所给的问题是从n个元素的集合S中找到S满足某种性质的子集时，相对应的解空间树称为子集树。通常有个叶子结点。例如：n个物品的0-1背包问题所对应的解空间树是子集树

排列树：当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相对应的解空间树称为排列树。通常有n！个叶子结点。

确定好问题的解空间后，可用不同的剪枝函数和最优解表示方法来获得最终结果。

2.2剪枝函数的分类和设计

1.可行性剪枝。

作用：当前路径不满足问题的约束条件时，终止分支。

应用场景：约束满足问题（如N皇后，数独），组合优化问题。

示例：

N皇后问题：当前皇后的位置与之前皇后冲突（同行/同列/对角线）时，剪枝。

子集和问题：当前子集的和已超过目标值，剪枝。

2.最优性剪枝

作用：前路径无法得到比已知最优解更好的解时，终止分支。

应用场景：最优化问题（如TSP,0-1背包）

示例：

旅行商问题（TSP)：当前路径长度已超过已知最短路径，剪枝。

0-1背包问题：当前物品总价值 + 剩余物品的最大可能价值 ≤ 已知最优价值，剪枝。

3.去重剪枝

作用：免生成重复解（尤其在解空间含重复元素时）。

应用场景：全排列II、组合总和II。

示例：

全排列II：排序后跳过 nums[i] == nums[i-1] 且 nums[i-1] 未被使用的分支。

2.3回溯法的求解过程

回溯法对解空间做深度优先搜索，一般情况下可以用递归函数实现回溯法。

递归函数模板如下：

void BackTrace(int t)
{
    if(t > n)
        Output(x);
    else
        for(int i = f(n,t); i <= g(n,t); i++)
        {
            x[t] = h(i);
            if(Constraint(t) && Bound(t))
                BackTrace(t+1);
        }
}
        

解释模板

1.函数定义和参数

void BackTrace(int t)

t 表示当前递归层级 

例如在全排列问题中，t可能表示正在填充第t个位置的数字

2.终止条件

if(t > n)
    Output(x);

n 代表问题规模（如数组长度，皇后数量等）

t > n 代表已经处理完所有层级，此时输出可行解。

Output(x)：自定义函数，输出或保存当前解（如打印排列、记录路径等）

3.递归主体

for(int i = f(n,t); i <= g(n,t); i++)

f(n,t) 和 g(n,t)：动态生成当前层级 t 的候选集范围。

作用：灵活控制每层的可选值，避免无效搜索。

4.赋值与约束检查

 x[t] = h(i);
 if(Constraint(t) && Bound(t))
     BackTrace(t+1);

x[t] = h(i)：将候选值 i 赋给解向量的第 t 个位置。

h(i)：可能对 i 做转换（例如映射索引到实际值）。

Constraint(t) ：检查当前解向量 x[1..t] 是否满足问题的 显式约束。

Bound(t) :检查当前解向量是否有潜力达到 最优解（用于剪枝）。

若约束和边界条件均满足，则递归进入下一层 t+1。

使用迭代法也可以实现回溯法。模板如下：

void IterativeBackTrace(void)
{
    int t = 1;
    while(t > 0)
    {
        if(f(n,t) <= g(n,t))
        for(int i = f(n,t); i <= g(n,t); i++)
        {
            x[t] = h(i);
            if(Constraint(t) && Bound(t))
            {
                if(Solution(t))
                    Output(x);
                else
                    t++;
            }
        }
        else 
            t--;
        }
}

Solution(t)判断在当前拓展结点处是否已得到问题的一个可行解。

2.4回溯法的时间复杂性

1.子集树

在子集树中，每个结点都有相同数目的子树，通常为2，因此遍历子集树需要时间。

用回溯法搜索子集树的一般算法：

void backtrack(int t)
{
    if(t > n)
        Output(x);
    else
        for(int i = 0; i <= 1;i++)
        {
            x[t] = i;
            if(legal(t))
            backtrack(t+1);
        }
}

2.排列树

通常第一层结点子树为n,逐层递减，最后一层为1，所以排列树中共有n！个子结点，因此遍历排列树需要时间。

用回溯法搜索排列树的一般算法：

void backtrack(int t)
{
    if(t > n)
        output(x);
    else
        for(int i = t; i <= n; i++)
        {
            swap(x[t],x[i]);
            if(legal(t))
            backtrace(t+1);
            swap(x[t],x[i]);
        }
}