Missashe高数强化学习笔记（随时更新）

Missashe高数强化学习笔记

说明：这篇笔记用于博主对高数强化课所学进行记录和总结。由于部分内容写在博主的日记博客里，所以博主会不定期将其重新copy到本篇笔记里。

第一章 函数极限连续

第二章 一元函数微分学

第三章 一元函数积分学

第一节 不定积分

知识点回顾

• 1.两个概念：原函数、不定积分：f(x)的全体原函数。
• 2.原函数的存在性：1）区间上连续必有原函数。2）区间上有第一类间断点则没有原函数，有第二类间断点可能有原函数。
• 3.性质和基本公式；用来运算的，要背下来。
• 4.三种积分方法：第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法（真换元）、分部积分法。
• 5.三类常见可积函数积分：
  • 1）有理函数积分：一般方法：部分分式法；特殊方法：加项减项拆或凑微分降幂。
  • 2）三角有理式积分：一般方法：万能代换；特殊方法：三角变形，换元，分部。
  • 3）简单无理函数积分：根式整体换元。

常考题型

• 1.计算不定积分
  • 1）第一种是直接给你一个不定积分让你算，要熟练掌握三大积分方法以及三种可积函数的积分方法，尤其是注意有理函数的积分，多项式可能会给的比较复杂。跟三角函数有关的不定积分会比较难算，但不止三角函数，其实各种类型函数的不定积分都可以出成难题，需要多做多见。
  • 2）第二种其实就是给你一些函数关系式，让你先把具体的函数求出来再积分，也就转化成第一种问题了。求具体函数一般是换元来做。
• 2.不定积分杂例：没有固定的套路，根据题目条件具体分析。求分段函数的原函数时，注意原函数存在则一定连续。

第二节 定积分

知识点回顾

• 1.定积分的概念：本质是和式极限，分、匀、和、精。表示的是一个值，与积分变量无关。还可以利用定积分定义求极限。
• 2.几何意义：前提是下限小于上限，定积分的值等于曲边梯形的面积、面积的负值或者上方面积减去下方面积之差。
• 3.可积性：指的是定积分存在。
  • 1）必要条件：$f(x)$可积则$f(x)$有界。
  • 2）充分条件：
    $f(x)$连续则$f(x)$可积。
    $f(x)$有界且只有有限个间断点则$f(x)$可积。
    $f(x)$只有有限个第一类间断点则$f(x)$可积。有第二类间断点可能可积。
• 4.$f(x)$可积和$f(x)$存在原函数是两个不同的概念，之间没有直接关联。
• 5.计算：牛顿莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法、利用奇偶性和周期性、利用公式：点火公式等。
• 6.变上限积分：掌握变上限积分的求导。
• 7.性质：不等式的性质和积分中值定理。

常考题型

• 1.定积分的概念、性质及几何意义
  • 1）定积分定义求极限。
  • 2）求一个变限积分的极限，且上下限同时出现x，可考虑积分中值定理，可以消去x或者利用等价无穷小代换等。
  • 3）求一个定积分的极限，但被积函数中含有n次幂：
    • ①可考虑广义积分中值定理，将不含n次幂的部分提出来，然后将含有n次幂的部分积分算出来（含有n），再整体取极限。
    • ②放缩不等式然后利用夹逼定理。
  • 4）图像相关问题，利用定积分的几何意义：面积。注意：定积分的几何意义前提是下限小于上限，如果不注意这点，会导致符号的差异。
• 2.定积分计算：熟练掌握上面写的积分法。
  • 1）奇偶性简化运算。
  • 2）定积分的几何意义简化运算，如${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi }{4}{a}^2$等。
  • 3）带绝对值的被积函数：
    • ①分区间讨论；
    • ②找到一个不变号的区间，尤其是三角函数有关的。
  • 4）点火公式的运用，以及${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$的运用。
  • 5）给出积不出函数或者一个导函数$f^{\prime }(x)$常用分部积分法，前者还可以用累计积分交换顺序（二重积分）。
  • 6）给出抽象函数关系式，会用牛顿莱布尼兹公式逆写变限积分，然后求导解题。
  • 7）区间再现：常用于被积函数原函数不易求出的定积分运算中，但不是万能的。
  • 8）套娃积分：当做常数两边同时积分，可以算出套娃的这个常数，然后代入原式等。和微分中套娃导数一个做法。
• 3.变上限积分函数及应用
  • 1）知识补充：
  • ①连续性：$f(x)$在闭区间[a,b]上可积，则${\int }_a^{x}f(t)dt$(令为$F(x)$)在[a,b]上连续。
  • ②可导性：$f(x)$连续时，$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$才是$f(x)$的原函数。当$f(x)$存在可去间断点时，$F(x)$在该点处可导但导数值是$f(x)$在该点的极限值而不是函数值，当$f(x)$存在跳跃间断点时，$F(x)$在该点处连续但不可导，且左导数和右导数不等。
  • ③奇偶性：设$f(x)$连续，若$f(x)$为奇函数，则全体变上限积分均为偶函数；若$f(x)$为偶函数，则只有${\int }_0^{x}f(x)dx$才为奇函数。
• 2）利用三个性质判断奇偶性、连续性、可导性。
• 3）求含变上限积分的式子的极限：洛必达、积分中值定理（包括广义）、等价代换，有时积分中值定理会有奇效。
• 4）利用定积分的几何意义画图解题。
• 4.积分不等式
  • 1）常用方法：变量代换、积分中值定理、变上限积分：题目中含有$f(x)$单调的条件时、柯西积分不等式、定积分不等式性质。
  • 2）积分比大小：本质上就是被积函数的比较。由于都是恒大于小于，所以可以直接在被积函数中代入一点进行比较，一般代入端点，端点无意义则求极限。
  • 3）含有$f(x)$和$f^{\prime }(x)$的不等式：利用拉格朗日或者变上限积分联系起来。
  • 4）含平方则考虑柯西积分不等式。

第三节 反常积分

第四节 定积分应用

第四章 常微分方程

第五章 多元函数微分学

第六章 二重积分