牛顿迭代法笔记

牛顿迭代法求根的原理是利用函数的局部线性近似来逐步逼近方程的根，具体如下：
基于切线的线性近似 对于给定的函数f(x)，假设我们要求方程f(x)=0的根。首先选取一个初始猜测值x_0，在点(x_0,f(x_0))处作函数f(x)的切线。该切线的斜率为f’(x_0)，根据点斜式可得切线方程为y - f(x_0)=f’(x_0)(x - x_0)。 迭代求解 由于切线是函数在x_0附近的近似，所以切线与x轴的交点会更接近函数f(x)的根。令切线方程中的y = 0，可得到x = x_0-\frac{f(x_0)}{f’(x_0)}，将其记为x_1，这就是通过牛顿迭代法得到的下一个近似值。然后重复上述过程，用x_1代替x_0，不断计算新的近似值x_{n + 1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)}，随着迭代次数的增加，x_n会逐渐逼近f(x)=0的真实根。 收敛性 如果函数f(x)满足一定的条件，如在根的附近具有良好的光滑性，且初始猜测值x_0选择得当，那么牛顿迭代法通常会以较快的速度收敛到方程的根。