ARM寄存器组详解

ARM寄存器组详解

引言

ARM架构是当今最广泛使用的处理器架构之一，从嵌入式设备到高性能服务器，ARM处理器几乎无处不在。理解ARM的寄存器组对于任何希望在底层编程或优化ARM系统的人来说都是至关重要的。

ARM寄存器组概述

寄存器是处理器内部的高速存储单元，比内存快数百倍。ARM处理器的性能很大程度上依赖于其精心设计的寄存器组。ARM架构的寄存器组随着不同版本（如ARMv7、ARMv8）略有不同，但核心概念保持一致。以下我们主要以ARMv8-A架构为例进行讲解。

从理论上讲，寄存器访问速度可以通过以下公式量化：

$$T_{访问}=\frac{1}{f_{CPU}}$$

其中$f_{CPU}$是CPU的时钟频率。相比之下，内存访问延迟通常是：

$$T_{内存}=\frac{n}{f_{CPU}}$$

其中$n$通常在数十到数百个周期之间，这就解释了为什么寄存器访问比内存访问快几个数量级。

核心寄存器

通用寄存器

在ARM架构中，通用寄存器是最基础的寄存器类型。在32位ARM架构（如ARMv7）中，有16个主要的32位寄存器，标记为R0至R15。在64位ARM架构（ARMv8）中，这些扩展为31个64位通用寄存器，标记为X0至X30，同时每个64位寄存器的低32位可以作为W0至W30单独访问。

寄存器使用遵循以下数学公式表达的地址计算：

对于32位模式：
$$Address=Base\_Register+Offset$$

其中$Base\_Register$通常是R0-R14中的一个，$Offset$可以是立即数或其他寄存器的值。

对于64位模式：
$$Address=X\_Register+(Offset\times Scale)+Extend(Index\_Register)\times Scale$$

其中$X\_Register$通常是X0-X30中的一个，$Offset$可以是立即数，$Index\_Register$是另一个寄存器，$Extend$是符号或零扩展函数，$Scale$是缩放因子（可以是1、2、4或8）。

在ARMv8.3及以上版本中，引入了指针认证机制（PAC），通过以下函数保护指针：

$$PAC(ptr,key,modifier)=(ptr\&\sim mask)|(hash(ptr,key,modifier)\&mask)$$

其中$ptr$是原始指针，$key$是密钥，$modifier$是上下文信息，$mask$定义了用于存储认证码的位。

特殊用途寄存器

某些寄存器具有特殊用途，例如：

程序计数器（PC）：在ARMv7中是R15，指向当前执行的指令地址。在ARMv8中，PC不再是通用寄存器的一部分，而是单独的寄存器。

在分支预测中，ARM使用动态分支预测器预测PC的下一个值，可以用马尔可夫模型表示：

$$P(P{C}_{t+1}=target|P{C}_t=current)=f(history)$$

其中$f(history)$是基于历史执行路径的预测函数。

链接寄存器（LR）：在ARMv7中是R14，在ARMv8中是X30，存储子程序返回地址。当调用函数时，返回地址自动存储在LR中，函数返回时使用。数学上表示为：

$LR=PC+4$ （对于ARM指令集）
$LR=PC+2$ （对于Thumb指令集）

在递归调用中，LR需要保存在栈上，调用深度与栈使用量的关系为：

$$Stack\_Usage=\sum _{i=1}^{depth}frame\_siz{e}_i$$

其中$frame\_siz{e}_i$是第$i$层调用的栈帧大小。

栈指针（SP）：在ARMv7中是R13，在ARMv8中是单独的SP寄存器，指向当前栈顶。栈操作可以表示为：

入栈操作：$SP=SP-size$
出栈操作：$SP=SP+size$

其中$size$是操作的总字节数，必须在AArch64中保持16字节对齐，可表示为：

$$SP\mathrm{mod}16=0$$

ARMv8.1引入了BTI（分支目标识别）机制，通过特殊指令保护间接分支目标，防止ROP攻击：

$$Valid\_Target=(Instruction[31:0]==BTI\_Encoding)$$

程序状态寄存器

ARM架构使用程序状态寄存器来存储处理器状态信息，包括条件标志、中断禁用标志、处理器模式等。

当前程序状态寄存器（CPSR）

CPSR包含处理器的当前状态，其位域分配如下：

$$CPSR=\{N,Z,C,V,Q,J,GE[3:0],IT[7:0],E,A,I,F,T,M[4:0]\}$$

其中：

• $N$：负数标志，当结果为负数时置1
• $Z$：零标志，当结果为零时置1
• $C$：进位标志，当无符号运算产生进位时置1
• $V$：溢出标志，当有符号运算结果溢出时置1
• $Q$：饱和标志，指示是否发生了算术饱和
• $GE[3:0]$：大于或等于标志，用于SIMD指令
• $IT[7:0]$：If-Then状态位，用于条件执行
• $E$：内存访问的大小端模式
• $A$：对齐检查使能位
• $I$：IRQ中断禁用标志
• $F$：FIQ中断禁用标志
• $T$：Thumb状态标志
• $M[4:0]$：处理器模式位

条件执行的完整数学表达：

$$EQ:Z=1$$
$$NE:Z=0$$
$$CS/HS:C=1$$
$$CC/LO:C=0$$
$$MI:N=1$$
$$PL:N=0$$
$$VS:V=1$$
$$VC:V=0$$
$$HI:C=1\wedge Z=0$$
$$LS:C=0\vee Z=1$$
$$GE:N=V$$
$$LT:N\ne V$$
$$GT:Z=0\wedge N=V$$
$$LE:Z=1\vee N\ne V$$
$$AL:不考虑条件标志（永远执行）$$

在ARMv8的AArch64状态中，PSTATE替代了CPSR，引入了额外的位如UAO（用户访问覆盖）、PAN（特权访问从不）、SSBS（推测性存储旁路安全位）等，用于增强安全性和处理器功能。PSTATE的转换状态矩阵可表示为：

$$P(PSTAT{E}_{t+1}|PSTAT{E}_t,Instructio{n}_t)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果Instructiont导致PSTATEt变为PSTATEt+1}\\ 0,& \text{其他情况}\end{array}$$

保存的程序状态寄存器（SPSR）

当处理器模式改变时（如进入异常处理），CPSR的值会被保存到SPSR中，以便在返回时恢复。在ARMv8中，每个异常级别（EL0-EL3）都有自己的SPSR_ELx。

异常返回时的状态恢复可以表示为：

$$PSTATE=SPSR\_ELx$$

同时进行异常返回的指令权限检查：

$$Allowed\_Return=(EL\_target\le EL\_current)\wedge (EL\_target\ge 1\vee (EL\_target=0\wedge !is\_secure\_state))$$

特殊架构寄存器

ARMv8引入了许多特殊的架构寄存器，用于控制和配置处理器功能。以下是一些重要的特殊寄存器：

系统控制寄存器（SCTLR_ELx）

系统控制寄存器控制内存系统操作、缓存策略等。其状态可以表示为：

$$MMU\_Enabled=SCTLR\_ELx.M$$
$$Alignment\_Check=SCTLR\_ELx.A$$
$$Data\_Cache\_Enabled=SCTLR\_ELx.C$$
$$Stack\_Alignment\_Check=SCTLR\_ELx.SA$$

异常链接寄存器（ELR_ELx）

存储异常时的返回地址，替代AArch32中的LR寄存器功能，用于异常处理。

$$ELR\_ELx=P{C}_{exception}+offset$$

其中$offset$取决于异常类型。

异常合成寄存器（ESR_ELx）

记录异常原因和上下文信息：

$$ESR\_ELx=\{EC[5:0],IL,ISS[24:0]\}$$

其中$EC$是异常类，$IL$是指令长度，$ISS$是特定于异常的症状信息。

浮点寄存器

VFP寄存器

ARM浮点处理单元（VFP）提供了专门的浮点寄存器。在ARMv7架构中，有32个32位浮点寄存器S0-S31，它们可以组合成16个64位寄存器D0-D15。在ARMv8架构中，有32个128位寄存器V0-V31，可以作为浮点寄存器或SIMD寄存器使用。

浮点运算遵循IEEE 754标准，基本操作可以表示为：

加法：$S_d=S_n+S_m$
乘法：$S_d=S_n\times S_m$
乘加：$S_d=S_n\times S_m+S_a$

浮点表示遵循IEEE-754标准，对于单精度浮点数：

$$Value=(-1{)}^s\times 2^{e-127}\times (1.f)$$

其中$s$是符号位，$e$是8位指数，$f$是23位尾数。

对于双精度浮点数：

$$Value=(-1{)}^s\times 2^{e-1023}\times (1.f)$$

其中$s$是符号位，$e$是11位指数，$f$是52位尾数。

浮点异常处理由FPSCR（浮点状态控制寄存器）控制，包含标志位：

$$FPSCR=\{N,Z,C,V,QC,DN,FZ,RMode[1:0],Stride[1:0],IDE,IXE,UFE,OFE,DZE,IOE\}$$

其中$RMode$控制舍入模式：

• $RMode=00$：舍入到最近（偶数）
• $RMode=01$：舍入到正无穷
• $RMode=10$：舍入到负无穷
• $RMode=11$：舍入到零

浮点运算的精度损失可以通过以下公式量化：

$${\epsilon }_{rel}=\frac{|x_{exact}-x_{computed}|}{|x_{exact}|}\le 2^{-23}$$ （单精度）
$${\epsilon }_{rel}=\frac{|x_{exact}-x_{computed}|}{|x_{exact}|}\le 2^{-52}$$ （双精度）

NEON寄存器和高级SIMD

ARM的NEON技术是一种SIMD（单指令多数据）扩展，允许同时对多个数据元素执行相同操作。在ARMv7中，NEON与VFP共享寄存器，但提供更多的排列组合。在ARMv8中，NEON使用V0-V31寄存器。

NEON寄存器可以包含不同类型和大小的数据元素。例如，一个128位V寄存器可以包含：

• 16个8位元素
• 8个16位元素
• 4个32位元素
• 2个64位元素

SIMD运算可以表达为：

$V_d[i]=V_n[i]\otimes V_m[i]$ 对于$i\in [0,lanes-1]$

其中$\otimes$表示任意运算（加、减、乘等），$lanes$是寄存器中的通道数量，取决于数据类型。

ARMv8.2引入了半精度（16位）浮点支持，SVE（可扩展矢量扩展）引入了可变长度的矢量寄存器，长度可以从128位到2048位不等。SVE寄存器Z0-Z31的理论算力可以计算为：

$$FLOP{S}_{peak}=f_{CPU}\times lanes\times operations\_per\_cycle$$

其中$lanes=\frac{SVE\_Vector\_Length}{element\_size}$。

矢量化优化的理论加速比：

$$Speedup=\frac{T_{scalar}}{T_{vector}}\approx \frac{n}{n/v+overhead}$$

其中$n$是元素数量，$v$是SIMD宽度，$overhead$是矢量化开销。

NEON提供了丰富的数据排列和重组指令，如TBL（表查找），可以表示为：

$$V_d[i]=\{\begin{array}{ll}0,& \text{如果Vn[Vm[i]]>elements}\\ V_n[V_m[i]],& \text{其他情况}\end{array}$$

系统寄存器和内存管理

ARM架构包含许多系统寄存器，用于控制处理器功能、内存管理、异常处理等。这些寄存器通常只能在特权模式下访问。

在ARMv8中，系统寄存器使用统一的编码方案：

$$S<op0{>}_{<}op1{>}_{<}Cn{>}_{<}Cm{>}_{<}op2>$$

例如，系统控制寄存器SCTLR_EL1被编码为S3_0_C1_C0_0。

内存管理寄存器

ARMv8的虚拟内存系统通过以下关键寄存器控制：

TTBRx_EL1：页表基地址寄存器，存储虚拟地址转换表的基地址。虚拟地址到物理地址的映射可以表达为：

$$PA=PageTable\_Lookup(VA,TTBR\_BASE)$$

其中查找过程是递归的，对于48位地址空间，使用4级页表：

$$L0\_index=(VA>>39)\&0x1FF$$
$$L1\_index=(VA>>30)\&0x1FF$$
$$L2\_index=(VA>>21)\&0x1FF$$
$$L3\_index=(VA>>12)\&0x1FF$$
$$Offset=VA\&0xFFF$$

MAIR_EL1：内存属性间接寄存器，定义内存访问的缓存策略。内存访问延迟可以表示为：

$$T_{access}=\{\begin{array}{ll}{T}_{cache},& \text{如果缓存命中}\\ T_{cache}+p\times T_{memory},& \text{如果缓存未命中}\end{array}$$

其中$p$是缓存未命中的概率，与MAIR配置有关。

TCR_EL1：转换控制寄存器，控制虚拟地址转换的各种参数。虚拟地址空间大小由TCR的T0SZ和T1SZ字段控制：

$VA\_Size=64-T0SZ$ （对于TTBR0_EL1映射的空间）
$VA\_Size=64-T1SZ$ （对于TTBR1_EL1映射的空间）

TLB和缓存控制

转译后备缓冲区（TLB）加速地址转换过程，TLB命中率可以表示为：

$$Hit\_Rat{e}_{TLB}=\frac{N_{hit}}{N_{total}}$$

TLB未命中惩罚可以表示为：

$$Penalt{y}_{TLB\_miss}=T_{page\_walk}=\sum _{i=0}^{levels-1}{T}_{memory\_access}$$

ARMv8提供了复杂的缓存管理指令，如DC CIVAC（数据缓存清除并使无效到PoC）。缓存一致性维护的理论模型可以表示为：

$$TimeToGlobalVisibility=max(T_{interconnect\_latency},T_{local\_cache\_flush})$$

性能监控寄存器

ARMv8引入了PMU（性能监控单元），通过一系列寄存器提供性能计数功能：

PMCR_EL0：性能监控控制寄存器，控制计数器的全局启用/禁用。

PMCCNTR_EL0：周期计数器，计算执行的CPU周期数。程序执行时间可以表示为：

$$T_{execution}=\frac{PMCCNTR\_EL0}{f_{CPU}}$$

PMXEVCNTR_EL0：事件计数器，可以计数多种微架构事件。CPI（每指令周期数）可以计算为：

$$CPI=\frac{PMCCNTR\_EL0}{PMXEVCNTR\_EL0(\text{指令计数})}$$

使用这些寄存器，可以构建详细的性能分析模型：

$$T_{execution}=N_{instructions}\times CPI\times \frac{1}{f_{CPU}}$$

其中$CPI$可以进一步分解为：

$$CPI=CP{I}_{base}+CP{I}_{memory}+CP{I}_{branch}+CP{I}_{dependencies}$$

寄存器的使用约定

ARM架构定义了标准的调用约定，规定了寄存器在函数调用中的使用方式。在ARM AAPCS（ARM架构过程调用标准）中：

• R0-R3（ARMv7）或X0-X7（ARMv8）用于传递参数
• R0（ARMv7）或X0（ARMv8）用于返回值
• 调用者保存的寄存器必须由调用函数保存和恢复
• 被调用者保存的寄存器必须由被调用函数保存和恢复

函数调用的栈帧动态演化可以表示为：

$$fram{e}_{caller}\to push(LR)\to allocate(fram{e}_{callee})\to function\_body\to deallocate(fram{e}_{callee})\to pop(LR)\to fram{e}_{caller}$$

在尾调用优化中，如果函数B是函数A的最后一个调用，则可以重用A的栈帧，避免创建B的新栈帧：

$$fram{e}_A\to ...\to function\_B\_body\to deallocate(fram{e}_A)\to return$$

这样可以将递归调用优化为迭代形式，从$O(n)$空间复杂度优化到$O(1)$。

寄存器的数学运算示例

整数加法及溢出检测

ADDS X0, X1, X2  ; X0 = X1 + X2，更新标志位

数学表达式：$X0=X1+X2$，同时：

$$N=X0[63]$$
$$Z=(X0==0)?1:0$$
$$C=(X1+X2>2^{64}-1)?1:0$$
$$V=((X1[63]==X2[63])\wedge (X0[63]\ne X1[63]))?1:0$$

条件执行的乘法

MULLT R0, R1, R2  ; 如果N≠V，则R0 = R1 × R2

数学表达式：$R0=R1\times R2$ 当且仅当 $N\ne V$

对于64位乘法，结果可能是128位：

MUL X0, X1, X2      ; X0 = low64(X1 × X2)
UMULH X3, X1, X2    ; X3 = high64(X1 × X2)

完整结果表示为：$result=X3\times 2^{64}+X0$

浮点向量运算

FMLA V0.4S, V1.4S, V2.4S  ; V0.4S[i] = V0.4S[i] + (V1.4S[i] × V2.4S[i]) 对于i∈[0,3]

数学表达式：$V0.4S[i]=V0.4S[i]+(V1.4S[i]\times V2.4S[i])$ 对于$i\in [0,3]$

向量化卷积运算可以表示为：

$$Output[i]=\sum _{j=0}^{kernel\_size-1}Input[i+j]\times Kernel[j]$$

转换为NEON指令后，使用循环展开和并行计算显著提高性能。

寄存器优化技术

寄存器是最快的存储资源，因此优化寄存器使用对性能至关重要。一些关键优化技术包括：

寄存器分配

编译器尝试将变量分配到寄存器中以减少内存访问。优化问题可以表示为：

最小化 ${\sum }_{i=1}^{n}cost(v_i)\times mem\_access(v_i)$

其中$v_i$是变量，$cost$是访问内存的成本，$mem\_access$是内存访问次数。这是一个NP完全问题，可以通过图着色算法近似解决。对于具有干涉的变量$v_i$和$v_j$，不能分配到同一个寄存器，构建干涉图：

$G=(V,E)$，其中$V$是变量集合，$E=\{(v_i,v_j)|lifetime(v_i)\cap lifetime(v_j)\ne \varnothing \}$

然后使用启发式算法为图着色，颜色数量不超过可用寄存器数量。

循环展开与软件流水线

循环展开通过减少循环控制开销来优化寄存器使用。例如，原始循环：

for (i = 0; i < 100; i++) {
    sum += array[i];
}

展开后：

for (i = 0; i < 100; i += 4) {
    sum1 += array[i];
    sum2 += array[i+1];
    sum3 += array[i+2];
    sum4 += array[i+3];
}
sum = sum1 + sum2 + sum3 + sum4;

软件流水线将循环迭代重叠执行，可以表示为：

$$iteratio{n}_n^{stag{e}_1}||iteratio{n}_{n-1}^{stag{e}_2}||iteratio{n}_{n-2}^{stag{e}_3}$$

其中$||$表示并行执行。理论加速比为：

$Speedup=\frac{stages\times iterations}{stages+iterations-1}\approx stages$ （当$iterations\gg stages$时）

寄存器重命名和乱序执行

现代ARM处理器采用寄存器重命名技术解决写后读（WAR）和写后写（WAW）依赖问题。物理寄存器数量通常多于架构寄存器数量：

$$n_{physical}>n_{architectural}$$

重命名过程可以表示为映射函数：

$$map:R_{arch}\times version\to R_{phys}$$

乱序执行的指令吞吐量可以表示为：

$$IP{C}_{max}=min(issue\_width,\frac{n_{ready}}{cycle})$$

其中$n_{ready}$是每个周期准备好执行的指令数量，取决于依赖关系图的临界路径。

寄存器溢出和栈帧优化

当寄存器分配无法将所有活跃变量映射到物理寄存器时，需要将一些变量溢出到栈上。溢出成本可以表示为：

$$Cos{t}_{spill}=freq(v)\times (cos{t}_{store}+cos{t}_{load})$$

其中$freq(v)$是变量$v$的访问频率。

ARM编译器通常采用线性扫描或图着色算法选择溢出变量，最小化总体溢出成本。栈帧结构优化可以减少内存访问：

$$frame\_size=\sum _{i}size(local\_va{r}_i)+\sum _{j}size(spilled\_va{r}_j)+size(saved\_registers)+size(alignment\_padding)$$

现代编译器使用堆栈合并技术，分析变量生命周期，重用栈空间，优化公式为：

$$frame\_siz{e}_{opt}=ma{x}_{timepoint}\{\sum _{v|alive(v,timepoint)}size(v)\}+size(saved\_registers)+size(alignment\_padding)$$