正态分布全景解析：理论、推导与应用

正态分布全景解析：理论、推导与应用

目录

1. 引言
2. 正态分布的定义
3. 密度函数的推导与归一化证明
4. 标准化与线性变换性质
5. 数字特征：期望、方差、矩母函数
6. 经典性质与 68-95-99.7 法则
7. 中心极限定理（CLT）概览
8. 与其他分布的关系
9. 思维导图
10. 练习与思考

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1. 引言

当随机误差来自众多独立微小因素的累积时，其分布往往逼近正态分布。这使得正态分布在自然科学、工程、金融乃至社科统计中占据核心地位。

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2. 正态分布的定义

若连续随机变量 (X) 的概率密度函数（PDF）为
[
f_{X}(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}};
\exp!\Bigl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma{2}}\Bigr),\qquad x\in\mathbb R ,
]
则称 (X) 服从均值 (\mu)、方差 (\sigma^{2}(>!0)) 的正态分布，记为
[
X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^{2}).
]

特殊情形 (\mu=0,\ \sigma^{2}=1) 称为标准正态分布，记 (Z\sim\mathcal N(0,1))。

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3. 密度函数的推导与归一化证明

3.1 推导动机