【高斯消元】学习笔记

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理论

这个算法可以求 $n$ 元一次方程组的解。

举个例子，现在已知有三元一次方程：

$$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=36\\ -x+y+2z=17\\ x+2z=17\end{array}$$

解得：
$$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=6\\ z=7\end{array}$$

将问题扩展为 $n$ 个未知数的方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n=b_1\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\cdots +a_{n,n}{x}_n=b_n\end{array}$$

对应的矩阵表示为：
[ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , n b 1 a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , n b n ] \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & b_1 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} & b_n \\ \end{bmatrix} ​a1,1​a2,1​⋮an,1​​a1,2​a2,2​⋮an,2​​⋯⋯⋱⋯​a1,n​a2,n​⋮an,n​​b1​b2​⋮bn​​ ​

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高斯消元步骤分解

我们以刚才的例子。

初始矩阵：

[ 1 2 3 36 − 1 1 2 17 1 0 2 17 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 36 \\ -1 & 1 & 2 & 17 \\ 1 & 0 & 2 & 17 \\ \end{bmatrix} ​1−11​210​322​361717​ ​

• 处理第一列

消去第二、三行的第一列：

[ 1 2 3 36 0 3 5 53 0 − 2 − 1 − 19 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 36 \\ 0 & 3 & 5 & 53 \\ 0 & -2 & -1 & -19 \\ \end{bmatrix} ​100​23−2​35−1​3653−19​ ​

• 处理第二列

第二行归一化并消去其他行：

[ 1 0 − 1 3 14 3 0 1 5 3 53 3 0 0 7 3 49 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{14}{3} \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & \frac{53}{3} \\ 0 & 0 & \frac{7}{3} & \frac{49}{3} \\ \end{bmatrix} ​100​010​−31​35​37​​314​353​349​​ ​

• 处理第三列：

第三行归一化并回代：

[ 1 0 0 3 0 1 0 6 0 0 1 7 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{bmatrix} ​100​010​001​367​ ​

具体操作步骤

• 对每个 $x_i$，选取系数绝对值最大的一行，交换至第 $i$ 行并归一化。
• 用主行消去其他行中 $i$ 的系数。
• 回代：从最后一行倒序求解变量值，公式为：
  

时间复杂度 $\text{O}(n^3)$。

特殊情况分析

无解情况

形如这样的，方程一样但是答案不一样，比如：

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 7& 5& 10\\ 3& 7& 5& 20\end{array}\right]$$

是不行的。

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还有形如这样的：
$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ -4& 4& 1& 13\end{array}\right]$$
存在矛盾方程 $0x+0y+0z\ne 0$，方程组无解。

一般情况：一整行的系数都为 $0$，答案不为 $0$。

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无穷解情况

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 18\\ 0& 6& -3& 4\end{array}\right]$$
第一列全零，自由变量存在，方程组有无穷多解。

形如这样的，一整列的系数都为 $0$，说明这个数没有参与任何方程。是多少都无所谓，与答案没有关联。

模板

P2455 [SDOI2006] 线性方程组

#include
using namespace std;
const int N=160;
const double eps=1e-6;
double a[N][N];
int n;
int gauss()
{
	int c,r;//C:当前处理X_c,R:处理了 r 个未知数 
	for(c=0,r=0;c<n;c++)
	{
		int t=r;
		for(int i=r;i<n;i++)
		{
			if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c]))//如果这个系数更大 
			{
				t=i;//更新 
			}
		}
		if(fabs(a[t][c])<eps)
		{//如果最大的数还是 0，则代表所有方程这个项的系数都是 0。 
			continue;//就不管 
		}
		for(int i=c;i<n+1;i++)
		{
			swap(a[r][i],a[t][i]);//将其交换至第 c 行
		}
		for(int i=n;i>=c;i--)
		{
			a[r][i]/=a[r][c];//除以系数 
		}
		for(int i=0;i<n;i++)//消消乐 
		{
			if(fabs(a[i][c])>eps && i!=r)//如果这一项系数不为 0 且不是系数最大的一行 
			{
				for(int j=n;j>=c;j--)
				{
					a[i][j]-=a[i][c]*a[r][j];//消元 
				}
			}
		}
		r++;//新处理了一个未知数 
	}
	if(r<n)//如果没有处理完所有的未知数 
	{
		for(int i=r;i<n;i++)//检查剩下的方程 
		{
			if(fabs(a[i][n])>eps)
			{//如果有最终答案>=0说明无解 
				return -1;
			}
		}
		return 0;//反之无解 
	}
	return 1;//有唯一解 
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	int ans=gauss();
	if(ans==1)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			printf("x%d=%.2f\n",i+1,a[i][n]);
		}
	}
	else
	{
		cout<<ans;
	}
	return 0;
}

P3389 【模板】高斯消元法

这个 $\mathrm{gauss}$ 是经典void类型的。

#include
using namespace std;
const int MAXN=100;
int n;
double a[MAXN+5][MAXN+5];
void gauss(int x)
{
	for(int i=0;i<x;i++)
	{
		int row=i;
		for(int j=i;j<x;j++)
		{
			if(fabs(a[row][i])<fabs(a[j][i]))
			{
				row=j;
			}
		}
		if(row!=i)
		{
			swap(a[row],a[i]);
		}
		double div1=a[i][i];
		for(int j=0;j<=x;j++)
		{
			a[i][j]/=div1;
		}
		for(int j=i+1;j<x;j++)
		{
			double div2=a[j][i];
			for(int k=0;k<=x;k++)
			{
				a[j][k]-=a[i][k]*div2;
			}
		}
	}
	//-----------------------------复原 
	for(int i=x-1;i>=0;i--)
	{
		for(int j=i-1;j>=0;j--)
		{
			a[j][x]-=a[j][i]*a[i][x];
			a[j][i]=0;
		}
	}
	//------------------------------
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	gauss(n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		bool flag=1;
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if(fabs(a[i][j])>1e-8)
			{
				flag=0;
			}
		}
		if(flag)
		{
			cout<<"No Solution";
			return 0;
		}
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cout<<fixed<<setprecision(2)<<a[i][n]<<'\n';
	}
	return 0;
}