RSA 加密还原失败问题——模数 ( n ) 小于消息的影响

RSA 加密算法是一种基于大素数分解的非对称加密算法，广泛应用于安全通信领域。然而，在某些情况下，如果 RSA 模数 ( n ) 小于要加密的消息，可能会导致消息在解密时无法被完全还原。本文将详细探讨这种现象的成因，如何生成 RSA 密钥，以及通过一个具体例子展示如何加密和解密消息。

先看结论

最近在学习rsa时突突发奇想想要手算一下，为了手算方便值就取得很小，导致计算出的n值很小(15),这时候加密的消息必须小于15，否则加密后解密不出明文（白话剖析请看问题分析部分）

原因：

在 RSA 加密中，模数 ( n ) 的大小至关重要。如果模数 ( n ) 小于消息，则会导致加密后的消息无法正确还原。所以为了避免这种情况，模数 ( n ) 必须大于消息 ( M )，并且在实际应用中，建议使用 1024 位以上的模数，以确保安全性和完整性。

---

什么是 RSA 加密？

RSA 是一种非对称加密算法，它使用两个密钥：公钥 ( (e, n) ) 和私钥 ( (d, n) )。公钥用于加密消息，私钥用于解密。加密和解密的公式如下：

• 加密： ( C = M^e \mod n )

  • 其中 ( M ) 是消息，( C ) 是密文，( e ) 是公钥指数，( n ) 是模数。

• 解密： ( M = C^d \mod n )

  • 其中 ( d ) 是私钥指数。

为什么模数 ( n ) 小于消息会导致还原失败？

RSA 的加密过程涉及模运算。如果消息 ( M ) 大于模数 ( n )，那么在加密时，消息会被取模 ( n ) 后进行运算，导致原始消息的部分信息丢失。

例如，假设模数 ( n = 15 )，要加密的消息 ( M = 25 )。在加密过程中会进行 ( M \mod n ) 运算，结果为：
[ 25 \mod 15 = 10 ]

这意味着实际加密的消息变成了 10，导致在解密时恢复的不是原始的 25，而是 10。为了避免这种问题，必须确保 模数 ( n ) 大于要加密的消息 ( M )。

---

RSA 密钥生成步骤

为了生成 RSA 的公钥和私钥，通常需要以下步骤：

1. 选择两个大素数 ( p ) 和 ( q )：

选择两个足够大的素数 ( p ) 和 ( q )，这些素数越大，RSA 的加密强度就越高。

2. 计算模数 ( n )：

计算 n = p × q ，该值作为公钥和私钥的一部分。模数 ( n ) 的大小直接决定了 RSA 系统的加密能力。

3. 计算欧拉函数 ( φ(n) )：

计算 φ(n) = (p - 1) × (q - 1) )，欧拉函数用于后续选择加密指数。

4. 选择加密指数 ( e )：

选择一个与 ( φ(n) ) 互质的整数 ( e )（通常选用65537）。这个 ( e ) 将作为公钥的一部分。

5. 计算私钥指数 ( d )：

私钥指数 ( d ) 满足以下条件：
$$d\times e\equiv 1(\text{mod}\phi (n))$$
即 ( d ) 是 ( e ) 关于模 ( φ(n) ) 的逆元。

6. 生成公钥和私钥：

• 公钥：( e, n )
• 私钥：( d, n )

---

手算惨案重现

为了方便手算，p,q取值如下

• ( p = 3 )
• ( q = 5 )

1. 计算模数 ( n )：

$$n=p\times q=3\times 5=15$$

2. 计算欧拉函数 ( φ(n) )：

$$\phi (n)=(p-1)\times (q-1)=2\times 4=8$$

3. 选择加密指数 ( e = 7 )：

验证 ( e = 7 ) 与 ( φ(n) = 8 ) 互质，gcd(7, 8) = 1 ，因此 ( e ) 合法。

4. 计算私钥指数 ( d )：

$$d\times e\equiv 1(\text{mod}\phi (n))$$

。经过计算，( d = 7 ) 满足该条件。

5. 公钥和私钥：

• 公钥：( 7, 15 )
• 私钥：( 7, 15 )

---

案发现场

加密步骤

开始加密的消息是 ( M = 25 )。加密公式为：
$$C=M^e\mathrm{mod}n$$
即：
$$C=25^7\mathrm{mod}15$$

手算结果：

加密后的密文 ( C = 10 )。

解密步骤

现在使用私钥 ( (d, n) = (7, 15) ) 对密文 ( C = 10 ) 进行解密。解密公式为：
$$M=C^d\mathrm{mod}n$$
即：
$$M=10^7\mathrm{mod}15$$

简单计算：

M计算出来他居然是10，这可怎么办啊？？？
这时候我就蒙了啊，我怀疑过密钥对算错了，怀疑过质数取错了，后来仔细研究了一下公式才发现，原来是n太小了（原因就是我数学过于差劲，太丢人了），解释如下：

问题分析：

加密解密过程未能还原消息 ( M = 25 )，因为模数 ( n = 15 ) 太小，导致消息经过模运算被截断。因此我们得到了 ( 25 \mod 15 = 10 )，加密的实际是消息 10，而不是 25。

说人话，因为在你解密的时候最后要取模，取模是什么啊，取模结果一定是小于模数的,模数15，那么解密只能解出比15小的明文。

---

总结

在 RSA 加密中，模数 ( n ) 的大小至关重要。如果模数 ( n ) 小于消息，则会导致加密后的消息无法正确还原。为了避免这种情况，模数 ( n ) 必须大于消息 ( M )，并且在实际应用中，建议使用 1024 位以上的模数，以确保安全性和完整性。

题外话

正因为不能解密大于等于n的消息，所以在加密日常消息的时候一定是要进行切分，然后加密消息块，这样做效率太低。因此RSA 通常用于加密对称加密的密钥，而不是直接加密较长的消息。对于长消息，常见的做法是使用 对称加密（如 AES）对消息进行加密，再用 RSA 加密对称密钥。

（有人可能会说n取的足够大就好了啊，又不是人算，那加密一篇很长的文章是不是要取个巨大的n，如果能达到解密加密不影响用户体验时间设备可能成本也不小，说不定那时候的算力已经可以很快破解分解大质数的能力，那么这种加密也就无用了）