[日记]LeetCode算法·十七——动态规划② 01背包问题

1 01背包问题

背包问题是动态规划的经典问题，而其中01背包又是基础中的基础。
01背包问题:
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
从暴力接发的思路出发，每一个物品都有选与不选两种情况，利用回溯法可以进行暴力遍历，除去重量超标的剪枝，基本上其时间复杂度为O(2^N)。
因此，采用动态规划解决01背包问题无疑是更好的思路。

2 二维dp数组（思路清晰）

首先让我们确定好dp数组的含义，从而理解递推公式。

• dp[i][j]代表着从[0,1,2,…,i]选取物品放入容量为j的背包所能产生的最大价值。

接着让我们考虑递推公式，对于dp[i][j]而言，存在着两种可能：

• 不选物体i，即选了后可能超标的情况下，那么显然dp[i][j]=dp[i-1][j]，其所能容纳最大价值依然从[0,…,i-1]中挑选。
• 选物体i，那么我们需要保证背包不会超重，那么dp[i][j]=dp[i][j-weight[i]+value[i]]，其中j-weight[i]为在放入物体i前背包所能容纳的最大重量。

综上所述，dp[i][j] = j < weight[i] ? dp[i-1][j] : max( dp[i-1][j] ,dp[i-1][ j - wight[i] ] + value[i] )
最后我们考虑初始化的问题，显然dp[i][j]的递推公式，由左上角得到，所以，我们理应初始化第一行与第一列。

• 对于第一列而言，因为j=0，，背包容纳不下任何物体，显然dp[i][0]=0；
• 对于第一行而言，因为只考虑装不装物体0，所以，j>=weight[0]时，dp[0][j]=value[0]，其余情况依然dp[0][j]=0。

综上，我们已经得到了使用二维数组01背包问题的方案，具体的代码如下：

int bagProblem(vector<int>& weight, vector<int>& value, int bagWeight)
{
    //先全部初始化为0，省略第一列的初始化
    vector<vector<int>> dp(weight.size(),vector(bagWeight+1,0));
    //初始化第一行，从weight[0]开始初始化，背包容量自然地能容纳物体0
    for(int j=weight[0]; j < bagWeight+1; ++j)
    {
        dp[0][j]=value[0];
    }
    //递推公式
    for(int i=1; i < dp.size(); ++i)
    {
        for(int j=1; j<=bagWeight; ++j)
        {
            //超重，放不下物体i
            if(weight[i] > j)
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    //返回结果
    return dp[dp.size()-1][bagWeight];
}

3 一维dp数组

观察上述二维dp数组的递推公式：

• dp[i][j] = j < weight[i] ? dp[i-1][j] : max( dp[i-1][j] ,dp[i-1][ j - wight[i] ] + value[i] )

可以看到，自始至终，我们都只是用了dp[i-1]，只利用了上一行的结果，而没有使用更早的dp[i-2],dp[i-3]的信息，这意味着我们可以只使用一维dp数组进行覆盖，从节省空间。
从这个思路出发，由于递推公式时从之前二维数组的左上角递推得到，我们为了使用上一行的结果，这一次遍历必然是从大到小，从右到左进行遍历，才能防止信息覆盖。
甚至在初始化阶段，因为全部初始化为0，且是从大到小进行遍历，因此甚至不需要进行条件判断，直接进行取最大值即可。

int bagProblem(vector<int>& weight, vector<int>& value, int bagWeight)
{
    //初始化已经完成，因为
    vector<vector<int>> dp(bagWeight+1,0);
    //遍历顺序为先遍历物体，再遍历背包
    //即先测试前i+1个物体放入各种容量的背包的可能性，直到所有物体的可能性都被测试
    //不能先遍历背包，先遍历背包意味着对容积为最大几个的背包，测试了都只放入1个物体时的结果。
    for(int i=0; i < weight.size(); ++i)
    {
        //递推公式，j>=weight[i]
        for(int j=bagWeight; j>=weight[i]; --j)
        {
            //因为初始化为0，所以最开始必然会初始化为value[j]
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    //返回结果
    return dp[dp.size()-1];
}

4 总结

赶作业去了，今天没怎么刷题，只做了个Leetcode的每日一题，保证下出勤率。
唉，又开始上这些不知所谓的课程，开始占用我的时间，争取明天好好刷动态规划的Leetcode。
——2023.3.2