POJ1631(Bridging signals)

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题目的本质就是求最长不下降子序列，这是动态规划的典型，很容易写出O(n²)的算法，但由于MAX=40000，普通算法会超时，必须采用更快的算法。下面简单介绍求最长不下降子序列（可推广到其他类型）的O(nlogn)算法。

假设数字序列为a[N]（也可不用保存，一边读入一边处理），先介绍如何求以第一个元素开头的最长不下降子序列，我们会用到一个数组d[N]，d[k]保存的是数组a中以第一个元素开头的所有长为k的不下降子序列最后一个元素的最小值（下面将简称为最小最后元素），显然d的长度len即为所求。而且容易用反证法证明这个数组是递增的，若存在i<j,且d[i]>d[j],可以这样想，既然存在一个长为j的且最后一个元素为d[j]的不下降子串，则必然存在一个长为i(i<j)且最后一个元素为d[j]的不下降子串，所以d[i]<=d[j],与假设矛盾。初始化的时候，d中只有一个元素，即数字序列的第一个元素，显然以第一个元素开头且长为1的子串只有一个，所以d[1]=a[1]，初始化过后，d数组满足定义(d[k]保存以第一个数字开头的长为k的最小最后元素)，接着，每次读入一个数字时，相当数组a新增一个元素，我们设为tmp，我们的任务就是维持d数组的定义，具体操作如下：若tmp>=d[len]，则可以直接加入到数组d中，这个容易理解，若tmp<=d[1]，则直接抛弃，这两种情况都容易理解，关键在于tmp>d[1]&&tmp<d[len]，这时需将d数组中第一个（从1到len）大于tmp的数字更新为tmp，因为d是有序的，所以可以使用二分查找，然后更新。当a数组确定后（数据读入完成），数组d也就确定了，此时数组d的长度就是数组a中以第一个数开头的最长不下降子序列的长度。读入数据使用一层循环，查找更新需一层循环，由于查找时用了二分，所以总的时间复杂度为O(nlogn)。到此为止，我们已经完成了一大半工作，只需一个很少的变动，即可用上面的算法来求数组a的最长不下降子序列的长度，且时间复杂度仍为O(nlogn)，这是一个很有创造性的改进，我们只需给在数组a前面新增一个数字-INF（负无穷大），此时a数组第一个数是-INF，第二个数是原来的第一个数，一次类推，第n+1个数为原数组a的第n个数，使用上面的算法求以第一个数开头的最长不下降子序列，即以-INF开头的最长不下降子序列，看出名堂来了吗？以-INF开头的最长不下降子序列长度=原数组a最长不下降子序列长度+1。需说明的是，实际处理时，只需将数组d第一个数初始化为-INF即可。到此为止，大功告成。

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 1 #include <stdio.h>
 2 #define N 40000
 3 #define INF 0x7fffff
 4 int d[N],n;
 5 int main()
 6 {
 7     int t,i,tmp,len,max,min,mid;
 8     scanf("%d",&t);
 9     while(t--)
10     {
11         d[0]=-INF,len=0;
12         scanf("%d",&n);
13         for(i=0;i<n;i++)
14         {
15             scanf("%d",&tmp);
16             if(tmp>d[len])  d[++len]=tmp;
17             else
18             {
19                 min=0,max=len;
20                 mid=(min+max+1)>>1;
21                 while(mid<max)
22                 {
23                     if(tmp<=d[mid])  max=mid;
24                     else    min=mid;
25                     mid=(min+max+1)>>1;
26                 }
27                 d[mid]=tmp;
28             }
29         }
30         printf("%d\n",len);
31     }
32     return 0;
33 }