贝叶斯决策例题

例1

假定在一次食品样本抽查中，样本显示合格的先验概率$P(C_1)$和样本显示不合格的先验概率$P(C_2)$分别为：
$$P(C_1)=0.95,P(C_2)=0.05$$

现有一待检测的样本，其观察值为$x$，从类条件概率密度函数分布曲线上查得：
$$p(x|C_1)=0.2,p(x|C_2)=0.5$$
试对$x$进行分类。

解

利用贝叶斯公式，分别计算出$C_1$和$C_2$的后验概率：
$$P(C_1|x)=\frac{p(x|C_1)P(C_1)}{\sum _{i=1}^{2}p(x|C_i)P(C_i)}=\frac{0.2\times 0.95}{0.05\times 0.5+0.95\times 0.2}\approx 0.884$$
$$P(C_2|x)=\frac{p(x|C_2)P(C_2)}{\sum _{i=1}^{2}p(x|C_i)P(C_i)}=\frac{0.5\times 0.05}{0.05\times 0.5+0.95\times 0.2}\approx 0.116$$

根据最小误判概率贝叶斯准则有：
$$P(C_1|x)=0.884>P(C_2|x)=0.116$$

所以合理的判决是把$x$归于$C_1$类，即被检验的食品为合格产品。

似然比：
$$l\left(x\right)=\frac{p\left(x|C_1\right)}{p\left(x|C_2\right)}=0.4$$
似然比阈值：
$$T=\frac{P\left(C_2\right)}{P\left(C_1\right)}=0.0526$$

$l\left(x\right)>T$，判为$C_1$。

从这个例子可以看出，分类结果由先验概率和类条件概率密度函数共同决定。在具体的例子中，由于$C_1$类的先验概率远大于$C_2$类的先验概率，使得先验概率在判决中起主导作用。

例2

在例1条件的基础上，损失函数的值分别为：
$$\begin{gathered} L_{11}=0,L_{12}=1, \\ {L}_{21}=10,L_{22}=0 \end{gathered}$$

按最小损失贝叶斯判决准则进行分类。

解释

-$L_{11}=0$：如果真实类别是$C_1$，且被判为$C_1$，损失为 0。
-$L_{12}=1$：如果真实类别是$C_1$，但被判为$C_2$，损失为 1。
-$L_{21}=10$：如果真实类别是$C_2$，但被判为$C_1$，损失为 10。
-$L_{22}=0$：如果真实类别是$C_2$，且被判为$C_2$，损失为 0。

根据最小损失贝叶斯判决准则，选择使得期望损失最小的类别。

解

已知条件为：
$$P(C_1)=0.95,P(C_2)=0.05$$
$$p(x|C_1)=0.2,p(x|C_2)=0.5$$
$$L_{11}=0,L_{12}=1,L_{21}=10,L_{22}=0$$

根据例 1 的计算结果可知后验概率为：
$$P(C_1|x)=0.884,P(C_2|x)=0.116$$

计算的条件平均损失函数为：
$$R_1(x)=\sum _{i=1}^2{L}_{i1}P(C_i|x)=L_{21}P(C_2|x)=1.16$$
$$R_2(x)=\sum _{i=1}^2{L}_{i2}P(C_i|x)=L_{12}P(C_1|x)=0.884$$

由于$R_1(x)>R_2(x)$，故判决为$C_2$的损失小于判决为$C_1$的损失。因此，我们将$x$归到$C_2$类，即被检验食品为不合格食品。

将本例与例1相对比，其分类结果正好相反，这是因为这里影响判决结果的因素又多了一个，即“损失”。而且两类错误判决所造成的损失相差很悬殊，因此“损失”就起了主导作用。