第一类线性相位条件约束——数字图像FIR滤波器设计对单位脉冲响应的要求

如果$\theta (\omega )$为过原点的直线，则称为第一类线性相位，即
$$\theta (\omega )=-\tau \omega$$
其中，$\tau$表示滤波器的群延时。

在第一类线性相位约束条件下，对 FIR 数字滤波器单位脉冲响应的要求。

$$H({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega })=\sum _{n=0}^{N-1}h(n){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega n}=H(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta (\omega )}=H(\omega ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\tau \omega }$$

则有

$$\sum _{n=0}^{N-1}h(n)(\cos n\omega -\mathrm{j}\sin n\omega )=H(\omega )(\cos \tau \omega -\mathrm{j}\sin \tau \omega )$$

式中等号两边实部与实部相等，虚部与虚部相等，可得

$$\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\cos n\omega =H(\omega )\cos \tau \omega \text{\hspace{1em}(1)}$$

$$\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\sin n\omega =H(\omega )\sin \tau \omega \text{\hspace{1em}(2)}$$

将式(1)与式(2)相除，可得

$$\frac{\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\sin n\omega }{\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\cos n\omega }=\frac{\sin \tau \omega }{\cos \tau \omega }\text{\hspace{1em}(7.1.9)}$$

即可得

$$\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\sin n\omega \cos \tau \omega =\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\cos n\omega \sin \tau \omega$$

利用三角函数公式可得

$$\sum _{n=0}^{N-1}h(n)\sin [(\tau -n)\omega ]=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

如果式(3)成立，则要求$h(n)\sin [(\tau -n)\omega ]$对于求和区间中心位置呈奇对称。由于$\sin [(\tau -n)\omega ]$对于$n=\tau$呈奇对称关系，则要求$h(n)$对于求和区间中心位置呈偶对称。因此，如果希望 FIR 数字滤波器满足第一类线性相位要求，则$h(n)$和$\tau$需要满足以下条件，

$$\{\begin{array}{ll}h(n)=h(N-1-n),& 0⩽n⩽N-1（圆周偶对称）\\ \tau =(N-1)/2& \end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

需要注意的是，式(4)是保证 FIR 数字滤波器具有第一类严格线性相位特性的充分条件，但不是必要条件。

线性相位的条件约束

类型	$h(n)$对称性	$N$的奇偶性	幅度函数对称性	相位函数	适用范围
第1类	偶对称	奇数	关于$\omega =0,\pi ,2\pi$偶对称	第一类线性相位	低通、高通、带通、带阻
第2类	偶对称	偶数	关于$\omega =\pi$为奇对称，关于$\omega =0,2\pi$为偶对称，且在$\omega =\pi$时$H(\omega )=0$	$\theta (\omega )=-\frac{N-1}{2}\omega$	低通、带通
第3类	奇对称	奇数	关于$\omega =0,\pi ,2\pi$奇对称，且在$\omega =0,\pi ,2\pi$时$H(\omega )=0$	第二类线性相位	带通
第4类	奇对称	偶数	关于$\omega =\pi$为奇对称，关于$\omega =0,2\pi$为偶对称，且在$\omega =0,\pi ,2\pi$时$H(\omega )=0$	$\theta (\omega )=-\frac{N-1}{2}\omega$	低通、高通