[超详细]3种方法判断一个数是否为质数(Python)

(发现好多博客对第三种进阶方法说的不明白，至少我是没完全看明白。后面结合自己的理解应该算是弄懂了，供大家参考，欢迎纠正。)

方法一：最暴力，最简单，也最耗时O(n)

思想：由素数的定义：一个数t，除了1和它本身，若没有其他因数，那么就称其为素数。因此循环i从2开始到t-1，依次判断t是否将i整除，若是则不为素数。

代码：

# 判断是否为质数
def is_zhishu(t):
    if t <= 1:
        # 1和0都不是质数
        return False
    for i in range(2, t):
        if t % i == 0:
            # 整除就是余数为0 只要有一个被整除 就找到因数 就不是质数
            return False
    return True

t = int(input())
print(is_zhishu(t))

方法二：一个数t，其必然可以拆解为,则其整数因数必然一个不大于,一个不小于.因此可以只搜索小于等于的因数即可，将上述代码小改一下即可。此时时间复杂度就只需要O().

代码：

# 判断是否为质数
import math
def is_zhishu(t):
    if t <= 1:
        # 1和0都不是质数
        return False
    sqrt_t = math.ceil(t**0.5)  # 这里用ceil的原因是要取整数才能输入range
    for i in range(2, sqrt_t):
        if t % i == 0:
            # 整除就是余数为0 只要有一个被整除 就找到因数 就不是质数
            return False
    return True

t = int(input())
print(is_zhishu(t))

方法三：时复<=O().

方法三基于如下一个规律：

首先。对于任一个自然数t，只要t>=5, 则可以写成6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,...(x>=1)中的任一个。其次，针对上面的这种表达，依次看其是否是质数。

• 6x-1: 不能确定(因为像35=6*6-1不是质数，但41=6*7-1是质数，因此暂时不能确定)
• 6x: 因数可以是2,3,6，必定不是质数
• 6x+1: 不能确定(因为像25=4*6+1不是质数，但37=6*6+1是质数，因此暂时不能确定)
• 6x+2: =2(3x+1)因数可以是2，必定不是质数
• 6x+3: =3(2x+1)因数可以是3，必定不是质数
• 6x+4: =2(3x+2)因数可以是2，必定不是质数

因此，对于t>=5，只有t可以写成t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)时才有可能是质数。那么判断t是否可以写成这两种形式该如何体现在代码上呢？

• 首先我们知道代码中t%6 == 1,表示t = 6x+1(x>=0)的t都能识别出来，因此判断t>=5时可以被写成这种形成t=6x+1(x>=1)的就直接用t%6 == 1来判断即可，因为可以被识别出来即可。
• 而t=6x-1(x>=1)，这个-1的要如何识别出来呢？这个直接体现是体现不了在余数上的，因此需要转换一下，t=6x-1(x>=1)等价于t=6(x+1)-1(x>=0)=6x+5(x>=0). 类似上一个所说，t%6 == 5,表示t = 6x+5(x>=0)的t都能识别出来.因此这时只需要用t%6 == 5来识别t=6x-1(x>=1)这种情况即可。

所以代码中将可能是质数的先提取出来。即当t>=5时将不是质数的先判断为False。

前半部分：

if t <= 1 or t == 4:
    return False
elif t == 2 or t == 3:
    return True
    # 至此 先把t<5的情况全部讨论完，再看t>=5有规律的情况
elif t%6 != 1 and t%6 != 5:
    # 这里采用！= 就是将可能为质数的提取出来，！= 的就一定不是质数
    return False

那么接下来就是如何判断t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)这两种形式到底是不是质数的问题了。首先我们采用方法二的大方向，这两种数如果不是质数，那么其必定会有一个因数不大于根号t，这样就找到了遍历时的右边界i = 根号t向上取整。那么i是从几开始，间隔又是几递增呢？直接搜会告诉你i从5开始，间隔是6，这是为什么？很多博客中说因为t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)，可是这个是t，又不是t的因数。那么为什么t的因数又只有6x-1或6x+1这两种形式呢？请看我细细道来。

• 首先，t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)这两种形式的数的因数也只可能为6x-1或者6x+1(x>=1),因为其他数的形式6x,6x+2,6x+3,6x+4(x>=0)(这里如果取6x则x>=1)要么一定有最小因数2要么一定有最小因数3，因此都不可能是t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)的因数(这个前面分析过了，因为其不管怎么拆都拆不出2和3).因此对于t=6x-1或者t=6x+1(x>=1)这两种形式的数的因数也只可能为6x-1或者6x+1(x>=1)的形式[这里相当于从5开始了，是因为1不算因数，2和3刚已经说了不可能为t的因数了，4(因为可以拆成2)因此不可能是t的因数了]。所以现在就知道i从5开始！且因为6x-1或者6x+1(x>=1)都有可能成为t的因数，因此每遍历一次i就要有两次判断！(分别针对6x-1和6x+1的，i从5开始即每次取i时就是在判断6x-1(x>=1)，取i+2时就是在判断6x+1(x>=1))，即t%i ==0 or t%(i+2) ==0,一旦有能被整除的就是False。现在i递增是6就很容易理解了，第一轮x=1时6x-1=5;判断完后第二轮x=2时6x-1 = 6(x-1)-1+6,因此每次递增6就可以将6x-1(x>=1)刚好全部判断完。
• 没有然后了，已经结束，看不懂慢慢读多读几遍首先那一段就OK，不要着急。

方法三的完整代码：

import math
def is_zhishu(t):
    # 先把小于5的所有情况讨论完
    if t <= 1 or t == 4:
        return False
    elif t in (2,3):
        return True
    # 至此 t都是>=5的情况，这时就可以把t不是=6x-1,6x+1(x>=1)这两种情况过滤掉
    elif t%6 != 1 and t%6 != 5:
        return False
    # 此时基于t>=5基础上把有可能是质数的t=6x-1or6x+1(x>=1)的两种情况提取出来
    # 按照前面所说遍历i从5开始，递增6，至sqrt_t去寻找其因数,每轮要识别i(对应6x-1这种因数)和(i+2)(对应6x+1这种因数)
    sqrt_t = math.ceil(t**0.5)
    for i in range(5, sqrt_t, 6):
        if t % i == 0 or t %(i+2) == 0:
            return False
    return True

t = int(input())
print(is_zhishu(t))