辗转相除法解析（数学层面）

作用

辗转相除法用于求得两个数之间的最小公约数，本文主要论证辗转相除法中的一个变换过程的数学逻辑合理性

前导声明

$d=(a,b)$表示 $d$是a、b的最大公约数
$d|a$表示 $d$整除a，即 $a\mathrm{mod}d==0$
$a=b\ast k+r\Rightarrow r=a-b\ast k$，其中，r即为a / b的余数，k即为a / b 的商

方法解析

方法1 ----夹逼法

令 $d_0=(a,b)$, $d_1=(r,b)$
则有 $d_0=(a,b)⟹d_0|a\wedge d_0|b$
此时，由于有$r=a-b\ast k$ ,易证 $d_0|r$
因此，$d_0$是r、b的公因子，即 $d_0|(b,r)=d_1⟹d_0<=d_1$
with the same reason,using $a=b\ast k+r$ and $d_1=(r,b)$ , we can conclude that $d_1|(b,r)=d_0⟹d_1<=d_0$
totally,we can see that $d_1==d_0$

方法2 ----反证法

使用方法1得出的结论 $d_0$是r、b的公因子
用反证法假设$d_1=(b,r)$，因此 $d_1>d_0$,同上理可得 $d_1$也是a和b的公约数，可是这与 $d_0=(a,b)$ 产生矛盾，故不存在$d_1>d_0$，使得 $d_0=(a,b)$ ，并且 $d_1=(b,r)$。因此 $d_0$既等于 $gcd(a,b)$，又等于 $gcd(b,r)$，故得证。