有约束的确定型存贮模型及其MATLAB实现

摘要

本文系统阐述存贮论中带有约束条件的确定型库存模型，详细推导各类模型的数学公式，包括经济订购批量(EOQ)基础模型、资金约束模型、库容约束模型、允许缺货模型以及生产约束模型。通过MATLAB代码实现和实际案例分析，展示模型求解过程及应用价值，为供应链管理提供科学的决策支持。

关键词：存贮论 经济订购批量 约束优化 数学模型 MATLAB 库存管理

1. 基础EOQ模型

1.1 数学模型

经典EOQ模型假设：

1. 需求率D恒定
2. 瞬时补货
3. 不允许缺货
4. 固定订货成本C_D
5. 单位存贮成本C_p

总成本函数：
$$TC(Q)=\frac{1}{2}{C}_{p}Q+\frac{C_{D}D}{Q}$$

最优订货量：
$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{C_p}}$$

最优周期：
$$T^{\ast }=\frac{Q^{\ast }}{D}=\sqrt{\frac{2C_D}{C_{p}D}}$$

最小成本：
$$T{C}^{\ast }=\sqrt{2C_D{C}_{p}D}$$

1.2 MATLAB实现与案例

案例1：某商品日需求100件，订货费10元/次，存贮费0.005元/件·天。

D = 100;        % 日需求量(件/天)
C_D = 10;       % 订货费(元/次)
C_p = 0.005;    % 存贮费(元/件·天)

% 计算EOQ
Q_opt = sqrt(2*C_D*D/C_p);
T_opt = Q_opt/D;
TC_min = sqrt(2*C_D*C_p*D);

fprintf('最优订货量: %.2f件\n', Q_opt);
fprintf('最优订货周期: %.2f天\n', T_opt);
fprintf('最小总成本: %.2f元/天\n', TC_min);

计算结果：

• 最优订货量：632.46件
• 订货周期：6.32天
• 最小成本：3.16元/天

2. 资金约束EOQ模型

2.1 数学模型

在资金约束J下，多物品库存优化模型：

目标函数：
$$\min \sum _{i=1}^m\left(\frac{1}{2}{C}_{p_i}{Q}_i+\frac{C_D{D}_i}{Q_i}\right)$$

约束条件：
$$\sum _{i=1}^m{K}_i{Q}_i\le J$$
$$Q_i\ge 0,i=1,...,m$$

2.2 MATLAB实现与案例

案例2：某公司管理5种物资，参数如下：

物资	D_i(件/年)	K_i(元/件)	C_p(元/件·年)	w_i(m³/件)
1	600	300	60	1.0
2	900	1000	200	1.5
3	2400	500	100	0.5
4	12000	500	100	2.0
5	18000	100	20	1.0

资金约束J=40万元，库容W_T=1500m³。

function [Q_opt, TC] = constrained_EOQ(D, K, C_p, C_D, J, W_T, w)
    m = length(D);
    options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'sqp', 'Display', 'off');
    
    % 初始解(无约束EOQ)
    Q0 = sqrt(2*C_D*D./C_p);
    
    % 目标函数
    objfun = @(Q) sum(0.5*C_p.*Q + C_D*D./Q);
    
    % 约束条件
    A = [K'; w'];
    b = [J; W_T];
    
    % 求解
    [Q_opt, TC] = fmincon(objfun, Q0, A, b, [], [], zeros(m,1), [], [], options);
    
    % 计算订货次数
    n = D./Q_opt;
end

% 输入参数
D = [600; 900; 2400; 12000; 18000];
K = [300; 1000; 500; 500; 100];
C_p = [60; 200; 100; 100; 20];
w = [1.0; 1.5; 0.5; 2.0; 1.0];
C_D = 1000;
J = 400000;
W_T = 1500;

% 求解模型
[Q_opt, TC] = constrained_EOQ(D, K, C_p, C_D, J, W_T, w);

% 输出结果
disp('最优订货量:'); disp(Q_opt');
disp('年订货次数:'); disp(round(D./Q_opt)');
fprintf('总成本: %.2f元/年\n', TC);
fprintf('资金使用: %.2f元\n', sum(K.*Q_opt));
fprintf('库容使用: %.2fm³\n', sum(w.*Q_opt));

计算结果：

物资	Q_i*(件)	n_i(次/年)	占用资金(元)	占用库容(m³)
1	85.71	7	25,714	85.71
2	69.23	13	69,231	103.85
3	171.43	14	85,714	85.71
4	300.00	40	150,000	600.00
5	620.69	29	62,069	620.69
总计	-	-	392,728	1,495.96

3. 允许缺货模型

3.1 数学模型

允许缺货时，新增参数：

• S_i：最大缺货量
• C_s：单位缺货成本

总成本函数：
$$TC(Q,S)=\frac{C_p(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{C_{D}D}{Q}+\frac{C_s{S}^2}{2Q}$$

最优解：
$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D(C_p+C_s)}{C_p{C}_s}}$$
$$S^{\ast }=\frac{C_p}{C_p+C_s}{Q}^{\ast }$$

3.2 MATLAB实现与案例

案例3：沿用案例2数据，设缺货成本C_s=2C_p。

function [Q_opt, S_opt, TC] = EOQ_with_shortage(D, K, w, C_p, C_s, C_D, J, W_T)
    m = length(D);
    options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'off');
    
    % 初始解
    x0 = [sqrt(2*C_D*D./C_p.*(C_p+C_s)./C_s); zeros(m,1)];
    
    % 目标函数
    objfun = @(x) sum(0.5*C_p.*(x(1:m)-x(m+1:end)).^2./x(1:m) + ...
                 C_D*D./x(1:m) + 0.5*C_s.*x(m+1:end).^2./x(1:m));
    
    % 约束条件
    A = [K', zeros(1,m); w', -w'];
    b = [J; W_T];
    
    % 变量下界
    lb = [zeros(m,1); -inf(m,1)];
    
    % 求解
    x_opt = fmincon(objfun, x0, A, b, [], [], lb, [], [], options);
    
    Q_opt = x_opt(1:m);
    S_opt = x_opt(m+1:end);
    TC = objfun(x_opt);
end

% 输入参数
C_s = 2 * C_p;  % 缺货成本

[Q_opt, S_opt, TC] = EOQ_with_shortage(D, K, w, C_p, C_s, C_D, J, W_T);

% 输出结果
disp('最优订货量:'); disp(Q_opt');
disp('最大缺货量:'); disp(S_opt');
disp('实际库存量:'); disp((Q_opt-S_opt)');
fprintf('总成本: %.2f元/年\n', TC);

计算结果：

物资	Q_i*(件)	S_i*(件)	实际库存量	年订货次数
1	90.37	30.12	60.25	7
2	60.62	20.21	40.42	15
3	140.00	46.67	93.34	17
4	313.06	104.35	208.71	38
5	857.34	285.78	571.56	21

4. 生产约束模型

4.1 数学模型

生产库存模型参数：

• P：生产率(件/天)
• D：需求率(件/天)
• T：生产周期

总成本函数：
$$TC(Q)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{D}{P}\right)C_{p}Q+\frac{C_{D}D}{Q}$$

最优生产批量：
$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{C_p\left(1-\frac{D}{P}\right)}}$$

4.2 MATLAB实现与案例

案例4：某车间生产产品需两道工序，参数：

• 乙车间生产速度：100件/月
• 甲车间生产速度：500件/月
• 包装费：5元/批
• 存贮费：0.4元/件·月

function [T_opt, Q_opt, TC] = production_EOQ(D, P, C_p, C_D)
    % 计算最优生产周期和批量
    Q_opt = sqrt(2*C_D*D/(C_p*(1-D/P)));
    T_opt = Q_opt/D;
    TC = 0.5*(1-D/P)*C_p*Q_opt + C_D*D/Q_opt;
    
    % 计算生产时间
    T_p = Q_opt/P;
end

% 输入参数
D = 100;        % 月需求量(件/月)
P = 500;        % 月生产量(件/月)
C_D = 5;        % 准备费(元/批)
C_p = 0.4;      % 存贮费(元/件·月)

[T_opt, Q_opt, TC] = production_EOQ(D, P, C_p, C_D);

fprintf('最优生产周期: %.2f月\n', T_opt);
fprintf('最优生产批量: %.2f件\n', Q_opt);
fprintf('每次生产时间: %.2f月\n', Q_opt/P);
fprintf('最小总成本: %.2f元/月\n', TC);

计算结果：

• 最优生产周期：0.56月(17天)
• 最优生产批量：55件
• 生产时间：0.1月(3天)
• 最小成本：17.89元/月

5. 结论

本文通过MATLAB实现了多种约束条件下的存贮优化模型，以下是各类存贮模型特点的对比表格：

表1：存贮模型核心公式对比

模型类型	成本构成公式	最优解公式	计算复杂度
基础EOQ模型	$$TC(Q)=\frac{1}{2}{C}_{p}Q+\frac{C_{D}D}{Q}$$	$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{C_p}}$$	★☆☆☆☆ (直接计算)
资金约束EOQ模型	$$\min \sum \left(\frac{1}{2}{C}_{p_i}{Q}_i+\frac{C_D{D}_i}{Q_i}\right)$$	需数值求解（如MATLAB fmincon）	★★★☆☆ (约束优化)
库容约束EOQ模型	同资金约束模型	需数值求解	★★★☆☆ (约束优化)
允许缺货模型	$$TC(Q,S)=\frac{C_p(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{C_{D}D}{Q}+\frac{C_s{S}^2}{2Q}$$	$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D(C_p+C_s)}{C_p{C}_s}}$$ $$S^{\ast }=\frac{C_p}{C_p+C_s}{Q}^{\ast }$$	★★☆☆☆ (需解方程组)
生产约束模型	$$TC(Q)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{D}{P}\right)C_{p}Q+\frac{C_{D}D}{Q}$$	$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2C_{D}D}{C_p(1-D/P)}}$$	★★☆☆☆ (含生产率修正)
随机需求模型	$$E[G(Q)]=(U-K)Q-(U-V){\int }_0^Q(Q-x)f(x)dx$$	需解积分方程：$${\int }_0^{Q^{\ast }}f(x)dx=\frac{U-K}{U-V}$$	★★★★☆ (概率积分)

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表2：存贮模型特性对比

特性维度	基础EOQ	资金约束模型	库容约束模型	允许缺货模型	生产约束模型	随机需求模型
适用场景	标准采购库存	预算受限采购	仓储空间有限	可接受缺货	自主生产	短生命周期产品
关键假设	需求恒定、瞬时补货	共享订货成本	物品库容差异	量化缺货成本	有限生产率>需求	需求随机分布
优势	计算简单	优化资金分配	提高空间利用率	降低总成本10-15%	优化生产批次	处理不确定性
局限性	忽略现实约束	需迭代计算	忽略立体存储	影响客户满意度	忽略生产波动	需完整分布数据
数据需求	仅需D,C_p,C_D	多成本系数	物品体积数据	缺货成本$C_s$	生产率参数	需求分布参数
成本节约潜力	基准	5-8%	3-5%	10-15%	5-10%	依分布而定

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典型特征对比：

1. 成本节约潜力：允许缺货模型（10-15%）> 生产模型（5-10%）> 基础EOQ
2. 计算复杂度：约束模型（需迭代）> 随机模型（需积分）> 基础模型（解析解）
3. 数据需求：随机模型（需分布参数）> 约束模型（需多成本系数）> 基础模型（仅需D,C_p,C_D）

应用建议：

• 制造企业优先采用生产约束模型
• 资金紧张时使用资金约束模型
• 对时效性要求不高的产品可采用允许缺货模型
• 快消品建议结合随机需求模型