宝石组合 第十五届蓝桥杯大赛软件赛省赛C/C++ 大学 B 组

宝石组合

题目来源

第十五届蓝桥杯大赛软件赛省赛C/C++ 大学 B 组

原题链接

蓝桥杯 宝石组合 https://www.lanqiao.cn/problems/19711/learning/

问题描述

P10426 [蓝桥杯 2024 省 B] 宝石组合

题目描述

在一个神秘的森林里，住着一个小精灵名叫小蓝。有一天，他偶然发现了一个隐藏在树洞里的宝藏，里面装满了闪烁着美丽光芒的宝石。这些宝石都有着不同的颜色和形状，但最引人注目的是它们各自独特的 “闪亮度” 属性。每颗宝石都有一个与生俱来的特殊能力，可以发出不同强度的闪光。小蓝共找到了 $n$ 枚宝石，第 $i$ 枚宝石的 “闪亮度” 属性值为 $H_i$，小蓝将会从这 $n$ 枚宝石中选出三枚进行组合，组合之后的精美程度 $S$ 可以用以下公式来衡量：

$$S=H_a{H}_b{H}_c\cdot \frac{\mathrm{LCM}(H_a,H_b,H_c)}{\mathrm{LCM}(H_a,H_b)\cdot \mathrm{LCM}(H_a,H_c)\mathrm{LCM}(H_b,H_c)}$$

其中 $\mathrm{LCM}$ 表示的是最小公倍数函数。

小蓝想要使得三枚宝石组合后的精美程度 $S$ 尽可能的高，请你帮他找出精美程度最高的方案。如果存在多个方案 $S$ 值相同，优先选择按照 $H$ 值升序排列后字典序最小的方案。

输入格式

第一行一个整数 $n$ 表示宝石个数。
第二行有 $n$ 个整数 $H_1,H_2,\dots H_n$ 表示每个宝石的闪亮度。

输出格式

输出一行包含三个整数表示满足条件的三枚宝石的 “闪亮度”。

输入输出样例 #1

输入 #1

5
1 2 3 4 9

输出 #1

1 2 3

说明/提示

数据规模与约定

• 对 $30\%$ 的数据，$n\le 100$，$H_i\le 10^3$。
• 对 $60\%$ 的数据，$n\le 2\times 10^3$。
• 对全部的测试数据，保证 $3\le n\le 10^5$，$1\le H_i\le 10^5$。

问题分析

解决该问题的关键便是化简精美程度S的计算公式。

要点1：最小公倍数与最大公因数相关公式

$a,b$ 的最小公倍数 $lcm(a,b)$
$a,b$ 的最大公因数 $gcd(a,b)$

$a,b,c$ 的最小公倍数 $lcm(lcm(a,b),c)$ （二者先求最小公倍数，结果与第三个数求最小公倍数）
$a,b,c$ 的最大公因数 $gcd(gcd(a,b),c)$ （二者先求最大公因数，结果与第三个数求最大公因数）

$lcm(a,b)=a\times b/gcd(a,b)$

$gcd(lcm(a,b),c)=lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))$ （该公式推导详见最大公因数与最小公倍数关系)

要点2：原题目S公式化简

（用a,b,c代替Ha,Hb,Hc)

$S=abc\frac{lcm(a,b,c)}{lcm(a,b)\cdot lcm(a,c)\cdot lcm(b,c)}$

$=abc\frac{lcm(lcm(a,b),c)}{\frac{ab}{gcd(a,b)}\frac{ac}{gcd(a,c)}\frac{bc}{gcd(b,c)}}$

$=abc\frac{\frac{clcm(a,b)}{gcd(lcm(a,b),c)}}{\frac{ab}{gcd(a,b)}\frac{ac}{gcd(a,c)}\frac{bc}{gcd(b,c)}}$

$=\frac{c\times lcm(a,b)gcd(a,b)gcd(a,c)gcd(b,c)}{abc\times gcd(lcm(a,b),c)}$

$=\frac{lcm(a,b)gcd(a,b)gcd(a,c)gcd(b,c)}{ab\times lcm(gcd(a,c),gcd(b,c))}$

$=\frac{\frac{ab}{gcd(a,b)}gcd(a,b)gcd(a,c)gcd(b,c)}{ab\frac{gcd(a,c)gcd(b,c)}{gcd(gcd(a,c),gcd(b,c))}}$

$=gcd(gcd(a,c),gcd(b,c))$

$=gcd(a,b,c)$

即最终化简为 $S=gcd(a,b,c)$，找出三个数使其的最大公因数最大。

要点3：找到最大公因数最大的三个数

预处理，用cnt[i] 数组存储 i 值出现的次数，用vector v[i]存储i的倍数，
从大到小遍历每个数，当遇到第一个v[i] 中存储的倍数的个数大于等于3时，此时的 i 就是最大公因数。
将v[i]进行排序，则前三个数便是最大公因数i最大的三个数。

完整代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;  // 定义常量 N，表示闪亮度值的最大范围
int cnt[N];              // 定义数组 cnt，用于统计每个闪亮度值的出现次数
int n, m;                // n 表示宝石的数量，m 表示最大的闪亮度值
vector<int> v[N];        // 定义向量数组 v，用于存储每个因数的闪亮度值

int main() {
    // 输入宝石的数量 n
    scanf("%d", &n);

    // 输入每颗宝石的闪亮度值，并统计每个闪亮度值的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        cnt[x]++;           // 统计闪亮度值 x 的出现次数
        m = max(m, x);      // 更新最大闪亮度值 m
    }

    // 对于每个可能的因数 i，收集所有能被 i 整除的闪亮度值
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = i; j <= m; j += i) {
            if (cnt[j]) {    // 如果闪亮度值 j 存在
                for (int k = 0; k < cnt[j]; k++)
                    v[i].push_back(j);  // 将 j 添加到因数 i 的向量中
            }
        }
    }

    // 从最大的因数开始检查，找到第一个满足至少有 3 个闪亮度值的因数 i
    for (int i = m; i >= 1; i--) {
        if (v[i].size() >= 3) {  // 如果因数 i 的闪亮度值数量 >= 3
            sort(v[i].begin(), v[i].end());  // 对闪亮度值进行升序排序
            for (int j = 0; j < 3; j++) printf("%d ", v[i][j]);  // 输出最小的 3 个闪亮度值
            break;  // 找到后立即退出循环
        }
    }

    return 0;
}