标准化欧氏距离公式

标准化欧氏距离（Standardized Euclidean Distance）通过对每个维度的差异进行标准化处理，消除不同量纲或方差的影响。其公式如下：

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum _{i=1}^n{\left(\frac{x_i-y_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$$

其中：

• $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 是两个数据点；
• $x_i$ 和 $y_i$ 是第 $i$ 个维度的值；
• ${\sigma }_i$ 是第 $i$ 个维度的标准差。

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简单案例

假设有两个二维点 $A(1,2)$ 和 $B(3,5)$，两个维度的标准差分别为 ${\sigma }_1=2$ 和 ${\sigma }_2=1$。计算步骤如下：

1. 第一维度：
   差值为 $3-1=2$，标准化后为 $\frac{2}{2}=1$，平方为 $1^2=1$。

2. 第二维度：
   差值为 $5-2=3$，标准化后为 $\frac{3}{1}=3$，平方为 $3^2=9$。

3. 求和并开平方：
   $$d=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\approx 3.16$$

相比之下，普通欧氏距离为：
$$d_{\text{普通}}=\sqrt{(3-1{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx 3.61$$

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关键区别

• 标准化处理：每个维度的差值除以该维度的标准差，弱化高方差维度的影响。
• 适用场景：当特征量纲不同或方差差异较大时（如身高 vs 体重），标准化欧氏距离能更合理地度量距离。

标准差与方差(补差知识)

以下是关于 方差（Variance） 和 标准差（Standard Deviation） 的简明解释和案例：

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1. 方差（Variance）

定义：
方差衡量一组数据的离散程度，即数据点与均值的平均平方偏差。
公式（总体方差）：
$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2$$
其中：

• ( N ) 是数据总数，
• ( x_i ) 是第 ( i ) 个数据点，
• ( \mu ) 是数据的均值。

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2. 标准差（Standard Deviation）

定义：
标准差是方差的平方根，用于将离散程度还原到原始数据的量纲。
公式（总体标准差）：
$$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}$$

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3. 简单案例

假设某班级 5 名学生的数学成绩为：( 70, 80, 85, 90, 95 )，计算方差和标准差。

步骤 1：计算均值（(\mu)）

$$\mu =\frac{70+80+85+90+95}{5}=\frac{420}{5}=84$$

步骤 2：计算每个数据与均值的差，平方后求和

数据 ( x_i )	( x_i - \mu )	( (x_i - \mu)^2 )
70	-14	196
80	-4	16
85	+1	1
90	+6	36
95	+11	121
求和		370

步骤 3：计算方差（(\sigma^2)）

$${\sigma }^2=\frac{370}{5}=74$$

步骤 4：计算标准差（(\sigma)）

$$\sigma =\sqrt{74}\approx 8.60$$

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4. 关键区别

指标	意义	单位	用途
方差	数据与均值的平均平方偏差	原始单位的平方	衡量离散程度
标准差	方差的平方根，反映数据的实际波动幅度	与原始数据单位一致	更直观地解释数据波动

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5. 为什么需要标准差？

方差虽然能衡量离散程度，但单位是原始数据的平方（如“分²”），难以直接解释。
标准差通过开方还原单位（如“分”），更符合实际意义。
例如，案例中标准差为 8.6 分，表示学生成绩平均偏离均值约 8.6 分。

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6. 扩展应用

• 数据分布分析：标准差越小，数据越集中；越大则越分散。
• 标准化（Z-Score）：公式 ( z = \frac{x - \mu}{\sigma} )，用于消除量纲差异（如标准化欧氏距离）。
• 质量控制：判断生产数据是否偏离正常范围（如“3σ原则”）。

希望这个解释和案例能帮到你！