【数学 线性代数】差分约束

前言

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什么是差分约束

x系列是变量，y系列是常量，差分系统由若干如下不等式组成。
x1-x2 <= y1 x2-x3 <= y2 $\cdots$

可能有负环的最短路

个人习惯：如果存在a指向b的边，则a是b的前置节点，b是a的后续节点。
某差分约束有n个变量（编号从1到n）,m个不等式。根据此差分约束建立有向图G。
第一步，n个节点，m条边。每个不等式$x1-x2<=y1都增加边x2\to$x1,边权位y1。
第二步：增加节点0，0到所有节点都有边，边权为0。
差分系统的变量和0到各节点的最短路一一对应。
性质一：差分约束所有的限制，有向图都有。故：有向图的解一定是差分约束的解。差分约束的解不一定是G的最短路。$⟺$ 差分系统是G的充分不必要条件。
性质二：有向图无解时，差分约束也无解。存在负环时，有向图无解。不失一般性，以3个节点的环为例。有向图有负环时，差分系统有： x1<=x2+y1 x2<=x3+y2 x3 <=x1+y3 x1 <= x1 + y1+y2+y3 即 0 <= y1+y2+y3，和节点1,2,3是负环矛盾。可以用数学归纳法证明。
性质三：令(a1,a2$\cdots$)是有向图的解，则(a1+d,a2+d$\cdots$)也是差分系统的解。因为：(x1+d)-(x2-d)等于x1-x2。
性质四：在不引入负环的前提下，缩短任意一条边的解仍然是原系统的解。将y1减去正无穷小(此边权变小)，构成的新图。如果有解，也是旧系统的解。
推论一：将任何节点i的直接、间接前置节点和i增加一个正数，则新系统的解仍然是老系统的解。如果节点在环上，此环上所有节点都增加。由于环的点都增加了x，故环上的边权不变，故不会引入负环。
性质五：延长任意一条边产生的新解一定不是旧系统的解。产生的新解 x1-x2一定大于y1。
推论二：原始图，如果节点i增加了一个正整数x，则它的直接、间接前置节点都需要增加x或更多。

负环最短路

dis[t][cur]记录最多经过t条边，从0到cur的最短路。
$\forall$cur ,dis[n][cur] != dis[n-1][cur]，说明存在负环。则无解。
第一层循环枚举前置状态，t = 0 to N-1。第二循环枚举各边。
时间复杂度：O(点数边数)

template<class T = int, T iDef = INT_MAX / 2>
class CDisNegativeRing //贝尔曼-福特算法
{
public:
	bool Dis(int N, vector<tuple<int, int, int>> edgeFromToW, int start) {
		vector<T> pre(N, iDef);
		pre[start] = 0;
		for (int t = 0; t < N; t++) {
			auto cur = pre;
			for (const auto& [u, v, w] : edgeFromToW) {
				cur[v] = min(cur[v], pre[u] + w);
			}
			if (t + 1 == N) {
				for (int i = 0; i < N; i++) {
					if (pre[i] != cur[i]) { return false; }
				}
			}
			pre.swap(cur);
		}
		m_vDis = pre;		
		return true;
	}
	vector<T> m_vDis;
};

最长路

对应的差分系统是：x1-x2 >= y1 x2-x3 >=y2 x3-x1 >=y3
如果存在正环，则无解。
可以延长边，不能缩短边。
节点i和它的直接间接前置节点可以减去一个正数，仍然是解。

样例

【差分约束】P5960 差分约束	普及+
【差分约束】P4878 [USACO05DEC] Layout G	普及+
如果差分系统无解，本题无解。如果有解，求第N个变量减第一个变量的最大值。如果1不是N的前置节点，则N可无限增大，即无穷大。否则就是最短路相减。
【差分约束】P5590 赛车游戏	省选-
本题求边权，任意解，即差分系统的y系列。
【差分约束】 P3275 [SCOI2011] 糖果	省选-
本题求最小正整数解，利用拓扑排序和推论一。

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。