数据传输中的守护者：深度解析CRC的错误检测能力
文章目录
- CRC检测能力
- 命名规范
- 单比特错误检测
- 双比特错误检测
-
- 双比特检测失效
- 突发错误
- 多比特错误检测
-
- 突发错误长度 大于 生成多项式的长度
- 突发错误长度 小于等于 生成多项式的长度
- 能否完全避免比特检测错误
-
- 人为干扰的检测能力
本篇内容为上课受老师启发，在课后加以思考的产物。如果错误，欢迎指出！
本内容不讨论任何关于CRC如何计算以及验证的问题，仅仅讨论CRC是如何实现检测错误的。对于仅仅需要备考的朋友们就可以选择忽视该文章了。
CRC检测能力
| 错误类型 | CRC 检测能力 |
|---|---|
| 单比特错误 | 100% 可检测 |
| 双比特错误 | 100%（当 G(x)适当选择） |
| 短突发错误 | 100%（长度 ≤ r） |
| 长突发错误 | 几乎 100% |
| 特殊模式错误 | 可能检测不到 |
命名规范
后文中，我们将按照如下的变量来定义所需公式：
原始数据对应的二进制位序列（待发送数据）：
M ( x ) = m n x n + m n − 1 x n − 1 + . . . + m 1 x + m 0 M(x)=m_{n}x^n+m_{n-1}x^{n-1}+...+m_{1}x+m_{0} M(x)=mnxn+mn−1xn−1+...+m1x+m0
生成多项式：
G ( x ) = g n x n + . . . + g 0 G(x)=g_{n}x^n+...+g_{0} G(x)=gnxn+...+g0
校验位：
R ( x ) R(x) R(x)
发送端发送的数据：
T ( x ) = M ( x ) + R ( x ) T(x)=M(x)+R(x) T(x)=M(x)+R(x)
接收端接收到的错误比特位：
E ( x ) E(x) E(x)
单比特错误检测
接收端通过计算T(x) mod G(x)=0来判断是否出现的差错（=0则表示没出错，≠0表示出错）
因为是单比特出错，所以：
E ( x ) = x i E(x)=x^i E(x)=xi
那么接收到的错误数据是：
T ′ ( x ) = T ( x ) + E ( x ) T'(x)=T(x)+E(x) T′(x)=T(x)+E(x)
通过T'(x) mod G(x)得到如下：
( T ( x ) + E ( x ) ) m o d G ( x ) (T(x)+E(x)) mod G(x) (T(x)+E(x))modG(x)
因为T(x)必然整除G(x)，所以只需要判断E(x) mod G(x)是否=0，即可判断能否检测出单比特错误（=0则表示检测不出来，≠0表示能检测出来）。即只要x^i不被G(x)整除，CRC就能检测出这个错误：
如果
x^i能被G(x)整除，则意味着存在某个多项式Q(x)使得：x^i=G(x)⋅Q(x)但这在 有限域 F2[x] 上是不可能的：
x^i只包含一个单独的x^i项，而G(x)至少有两个项。- 由于
G(x)的最低次项是 1，所以G(x)不能整除任何单项式x^i。
直观理解-想象一下：
x^i表示在某个位置上的 1，而其他地方都是 0。G(x)是一个“复杂的”多项式（至少二次）。- 如果
G(x)整除了x^i，那么x^i必须包含G(x)的全部因子，而x^i只有一个项，显然做不到。
所以x^i mod G(x) ≠ 0 必然成立，则必然能检测出单比特错误
双比特错误检测
接收端通过计算T(x) mod G(x)=0来判断是否出现的差错（=0则表示没出错，≠0表示出错）
因为是双比特出错，所以：
E ( x ) = x i + x j E(x)=x^i+x^j E(x)=xi+xj
那么接收到的错误数据是：
T ′ ( x ) = T ( x ) + E ( x ) T'(x)=T(x)+E(x) T′(x)=T(x)+E(x)
接收端进行 CRC 计算：
( T ( x ) + E ( x ) ) m o d G ( x ) (T(x)+E(x)) mod G(x) (T(x)+E(x))modG(x)
同前，若**E(x)不是G(x)的倍数，即G(x)不能够整除x^i + x^j**，CRC 便能检测到错误。
为了确保 CRC 能够检测到尽可能多的双比特错误，通常选择不可约多项式，并且至少包含 3 个或更多项。
(1) 为什么选不可约多项式？
- 不可约多项式类似于素数，它不能被低阶因子分解，因此更难整除单独的错误模式
x^i + x^j。- 如果
G(x)可分解，例如G(x)=(x^a+1)(x^b+1)，那么它可能会整除特定的x^i + x^j，导致 CRC 漏检某些错误。(2) 为什么要求
G(x)至少有 3 个或更多项？
- 设想
G(x)只有 2 项，比如x^n + 1，那么：x^i + x^j = x^j (x^(i-j) + 1)可能会被G(x)整除，从而导致 CRC 无法检测到部分双比特错误。- 但如果
G(x)至少有 3 项，比如x^n + x^m + 1，它就更难整除这样的结构，从而提高错误检测能力。
双比特检测失效
首先需要明确一点，标准 CRC（如 CRC-16、CRC-32）几乎总能检测所有双比特错误。所以使用的时候完全不用担心检测失效的问题。
如果攻击者特意选择一个G(x)使其能整除某些x^i + x^j，那么这些特定的错误模式将无法被检测到。但在实际使用中，标准的 CRC 生成多项式已经过广泛验证，确保它们能检测几乎所有双比特错误，因此无需过度担心这一问题。
CRC 的检测能力与其阶数r相关，通常能够检测间距小于1-2^(r−1)的双比特错误（这一点将在后续讨论）。
突发错误
在进一步探讨多比特错误检测前，我们先理解一个突发错误的概念：
突发错误（Burst Error）是指数据传输过程中，连续的多个比特发生错误，而不是单个或分散的比特错误。例如，在某些情况下，一个数据块的某部分可能会因噪声、干扰或硬件故障导致多个比特翻转。（多个比特连续发生错误才是使用中最常发生的情况,，此处不对其产生的原因进行进一步的讨论）
对于许多编码以及发送的数据，都少不了针对减少突发错误的产生，进行了调整，如：
- 二维奇偶校验（会结合突发错误的长度来考虑二维矩阵的大小，但受原理限制，所以改进能力优先）
- 汉明码（可以在发送时，采用按列发送的模式，在一定程度上抵抗因突发错误产生而来带的影响）
多比特错误检测
接收端通过计算T(x) mod G(x)=0来判断是否出现的差错（=0则表示没出错，≠0表示出错）
如果多个比特翻转，则错误模式可以表示为：
E ( x ) = x i + x j + x k . . . E(x)=x^i+x^j+x^k... E(x)=xi+xj+xk...
只要E(x)不能被G(x) 整除，CRC 就能检测到该错误。
CRC 生成多项式一般设计成能检测 长度 ≤ r 的所有突发错误（r 是生成多项式的阶数）。
例如：
- CRC-16 可以检测所有 长度 ≤ 16 的突发错误。
- CRC-32 可以检测所有 长度 ≤ 32 的突发错误。
如果突发错误长度大于 r，则 CRC 仍然有很高的概率检测到，错误检测失败的概率约为：1 - 2^(-r)
突发错误长度 大于 生成多项式的长度
在这种情况下，突发错误的长度大于生成多项式的阶数，CRC虽然会有一定的检测失败，但整体还是能够高效地检测到这种错误。
假设突发错误错误模式如下： E ( x ) = m 0 x p + m 1 x p − 1 + . . . + n x q 假设生成多项式的阶数为 r ： G ( x ) = x r + . . . + 1 l = p − q + 1 > r 假设突发错误错误模式如下：\\E(x)=m_{0}x^p+m_{1}x^{p-1}+...+nx^q \\假设生成多项式的阶数为r：\\G(x)=x^r+...+1\\l=p-q+1>r 假设突发错误错误模式如下：E(x)=m0xp+m1xp−1+...+nxq假设生成多项式的阶数为r：G(x)=xr+...+1l=p−q+1>r
其中p > q是错误位的位置范围，长度是
l=p−q+1生成多项式的阶数为r，表示它的最高次幂是
x^r，因此它是一个r+1次的多项式。
错误率的计算公式如下：
P e r r o r = E ( x ) 中可以被 G ( x ) 整除的多项式 E ( x ) 的所有多项式 P_{error}=\frac{E(x)中可以被G(x)整除的多项式}{E(x)的所有多项式} Perror=E(x)的所有多项式E(x)中可以被G(x)整除的多项式
对于一个l位的突发错误模式，只有大约2^(l−r)个错误模式可以被G(x)完全整除（分子是2^(l−r)，分母是2^l）。因此，误检率可以近似为：
P e r r o r = 2 − r P_{error}=2^{-r} Perror=2−r
- 如果你使用 CRC-16（生成多项式阶数r=16），则误检率为：
P≈2^(−16) - 对于 CRC-32（生成多项式阶数r=32），误检率为：
P≈2^(−32)
所以可见的，对于已经成熟的CRC生成多项式，我们完全不需要担心它的检测错误概率
突发错误长度 小于等于 生成多项式的长度
在这种情况下，突发错误的长度小于生成多项式的阶数，CRC能够高效地检测到这种错误。
E ( x ) = m 0 x p + m 1 x p − 1 + . . . + n x q G ( x ) = x r + . . . + 1 l = p − q + 1 ≤ r E(x)=m_{0}x^p+m_{1}x^{p-1}+...+nx^q\\ G(x)=x^r+...+1\\ l=p-q+1\leq r E(x)=m0xp+m1xp−1+...+nxqG(x)=xr+...+1l=p−q+1≤r
因为生成多项式的阶数足够大，能涵盖长度为 l 的错误模式，所以 误检的概率为零。
- 突发错误长度小于生成多项式的长度时，整个错误模式超出了生成多项式的校验能力范围，通常这类错误可以被100%检测到。
总结：
- 当错误模式的长度 l 小于或等于生成多项式的阶数 r 时，误检率为零，因为生成多项式能够准确检测出所有这些错误。
- 当错误模式的长度 l 大于生成多项式的阶数 r 时，误检率大约为
2^(−r)，因为生成多项式可能无法检测到某些特定的长错误模式，这些模式可能与生成多项式存在整除关系。
能否完全避免比特检测错误
对于产生比特错误，通常有如下两种情况：
- 随机产生的比特错误：这种错误通常是由于信道噪声、电磁干扰、硬件故障等因素引起的。它们通常符合 概率分布，并且错误的模式具有一定的随机性。在这种情况下，生成多项式如 CRC 可以通过其设计的特性有效地检测错误，尤其是在 较长的突发错误 上。（这种情况下，现成的生成多项式中，大概率是能够避免的）
- 人为干扰：这种错误通常是恶意或有意引起的，比如攻击者故意修改数据包中的某些位，或恶意篡改通信中的信息。人为干扰的错误模式可能具有非常特定的形式，往往与通信信道中的 随机错误 不同，且其结构和性质可能与普通的突发错误有所不同。
人为干扰的检测能力
- 人为干扰可能不符合随机性：由于人为干扰通常是有目的的，攻击者可能会选择特定的错误模式，这些模式并不完全符合 随机错误的统计特性。例如，攻击者可能故意选择与生成多项式结构相符的错误模式，使得错误不会被检测到，造成误检。
- “最长突发错误”概念的影响：在 CRC 和类似的校验方法中，最长突发错误 是指错误连续出现的最长时间长度，生成多项式通常能有效检测这种错误。如果人为干扰导致错误模式的长度超过了生成多项式的阶数，或者错误的分布与生成多项式相匹配，那么这种干扰就可能 未被检测，因为它可能符合多项式的整除条件。
例如，某些恶意的 比特翻转 或 特定模式（例如连续的零或一）如果恰好符合生成多项式的某种结构，就可能绕过 CRC 校验。这个情况在特定的攻击下有可能发生，尤其是如果攻击者了解 CRC 的实现方式和多项式结构。
所以在面对人为干扰时，除了使用 CRC 外，还可能需要 更复杂的安全机制（如加密、哈希校验、签名等）来防止攻击者篡改数据并绕过错误检测机制