区间合并问题

在算法中遇到区间合并问题时，可以从以下角度进行分析和解决：

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一、核心思路：排序与贪心策略

1. 排序预处理
   将区间按照起始端点升序排序，确保后续处理时相邻区间可能重叠。这是解决区间合并问题的关键预处理步骤[。

   • 排序后，重叠或相邻的区间会连续排列，便于合并（例如，区间 [1,3] 和 [2,6] 会相邻）。

2. 贪心合并逻辑
   遍历排序后的区间，逐个判断是否与结果集中的最后一个区间重叠：

   • 重叠条件：当前区间的起始点 ≤ 结果集最后一个区间的结束点。
   • 合并操作：若重叠，更新结果集最后一个区间的结束点为两者最大值（例如，合并 [1,3] 和 [2,6] 为 [1,6]）；若不重叠，直接加入结果集。

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二、算法步骤详解

1. 输入处理

   • 若输入为空或仅一个区间，直接返回原数组。

2. 排序实现

   • 使用快速排序或内置排序函数，按区间起始点排序。例如 Python 中的 intervals.sort(key=lambda x: x[0])

3. 遍历合并

   • 初始状态：将第一个区间加入结果集。
   • 动态更新：逐个比较当前区间与结果集最后一个区间，决定合并或新增。

4. 时间复杂度分析

   • 排序复杂度为 O(n log n)，遍历合并为 O(n)，总时间复杂度 O(n log n)。
   • 空间复杂度为 O(n)（存储结果）。

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三、关键问题与边界条件

1. 完全覆盖的情况

   • 若一个区间完全包含另一个（如 [1,5] 和 [2,3]），合并后应保留更大范围的区间。此时无需特殊处理，因排序后合并逻辑会自动覆盖。

2. 端点相等的情况

   • 若当前区间起始点等于结果集最后一个区间的结束点（如 [1,4] 和 [4,5]），视为重叠并合并为 [1,5]。

3. 多个区间连续重叠

   • 例如 [1,3], [2,5], [4,7]，合并后应为 [1,7]。遍历时需持续更新结束点。

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四、变种问题与扩展思路

1. 动态规划与复杂合并

   • 对于需要最优合并策略的问题（如石子合并最小代价），可使用区间动态规划，状态转移方程设计为 dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j] + cost)。

2. 线段树与区间查询

   • 若需频繁查询和更新区间（如区间求和、最大值），可用线段树结合懒惰标记优化时间复杂度至 O(log n)。

3. 多维度区间处理

   • 对于带权值或分组的区间，需结合优先级队列或贪心策略调整合并顺序。

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五、代码示例（Python）

def merge(intervals):
    if not intervals:
        return []
    # 按起始点排序
    intervals.sort(key=lambda x: x[0])
    merged = [intervals[0]]
    for current in intervals[1:]:
        last = merged[-1]
        if current[0] <= last[1]:  # 重叠条件
            merged[-1][1] = max(last[1], current[1])
        else:
            merged.append(current)
    return merged

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六、总结

区间合并问题的核心是排序预处理 + 贪心合并逻辑，需重点关注边界条件和变种场景。对于简单重叠合并，时间复杂度可优化至 O(n log n)；复杂场景（如动态规划）需结合分治或数据结构进一步分析。实际应用中，需根据问题需求灵活调整合并规则与数据结构选择。