UVa10572 Black & White

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  UVa10572 Black & White

题意

  在一个m行n列的网格中已经有一些格子涂上了黑色或者白色。你的任务是把其他格子也涂上黑色或者白色，使得任意2×2子网格不会全黑或者全白，且所有黑格四连通，所有白格也四连通。输出方案总数和其中一组方案。
  比如，在下图所示的4幅图中，第一幅中黑格不连通，第三幅中存在2×2的全黑子网格，其余两幅图合法。

输入格式

  输入的第一行为数据组数T（T≤100）。每组数据的第一行为两个整数m和n（2≤n,m≤8）。以下m行每行包含n个字符，即网格本身。其中“#”表示黑格，“o”表示白格，“.”表示尚未涂色的格子。

输出格式

  对于每组数据，第一行输出方案总数，接下来是任意一组方案（如果有的话）。

分析

  插头dp染色模型的经典题目
  本题需要把连通分量作为状态编码，并处理连通分量的新增、消失与合并，连通分量状态看起来总数达到$2^{24}$之多，但其实利用最小表示法预先求一下合法状态数，发现才1430而已。再考虑轮廓线还需要知道首格颜色，当前处理格左上格及正上格的颜色（左格颜色其实也需要知道，但是在已知首格颜色和连通分量状态的情况下可以推算出来），可以定义多维状态。
  说一个比较有意思的一个点：如果当前格涂色决策后一个连通分量消失了（注意不是和其他连通分量合并），则只能发生在当前格是最后一行倒数第一/二个格子的时候（用反正法很容易分析出此结论）。因此本题主要繁琐点在于处理连通分量的新增与合并以及转化成最小表示法。
  细节非常多，容易写错！

AC 代码

  写得很丑，但还是贴一下。

#include 
#include 
using namespace std;

#define M 1430
#define N 8
int d[N][2][M], e[N][N][2][2][2][M], p[1<<(3*N-5)], g[N][N], r[M], a[N], b[N], m, n, c, cc, h, t;
struct {int a, b, c, s;} q[M<<9]; struct {int i, c;} ans[M<<9]; bool inq[2][2][2][M]; char s[N][N];

void decode(int x) {
    for (int i=n-1; i>=0; --i) a[i] = x&7, x >>= 3;
}

bool valid(int x) {
    decode(x);
    for (int i=0; i<n; ++i) for (int j=i+2; j<n; ++j) if (a[i] == a[j])
        for (int k=i+1; k<j; ++k) if (a[i] != a[k]) for (int t=j+1; t<n; ++t) if (a[k] == a[t]) return false;
    return true;
}

int rep() {
    for (int i=0, j=0, k; i<n; ++i) {
        for (k=0; k<i; ++k) if (a[k] == a[i]) break;
        if (k == i) b[a[i]] = j++;
    }
    int y = 0;
    for (int i=0; i<n; ++i) y = y<<3 | b[a[i]];
    return y;
}

int rep(int x) {
    decode(x);
    return rep();
}

int fr(int x) {
    for (int i=n-1; i>=0; --i) a[i] = x&1, x >>= 1;
    for (int i=0; i<n; ++i) if ((a[i] && s[0][i]=='#') || (!a[i] && s[0][i]=='o')) return -1;
    int y = 0;
    for (int i=0, j=0; i<n; ++i) y = y<<3 | (i>0 && a[i]!=a[i-1] ? ++j : j);
    return p[y];
}

int fc(int i, int f) {
    int x = f;
    for (int j=1; j<=i; ++j) if (a[j] != a[j-1]) x ^= 1;
    return x;
}

void upd(int a, int b, int c, int s, int d, int &r) {
    inq[a][b][c][s] ? r += d : (r = d, q[t++] = {a, b, c, s}, inq[a][b][c][s] = true);
}

void upd(int a, int s, int d, int &r) {
    if (!r) q[t++] = {a, -1, -1, s};
    r += d;
}

void dfs(int i, int j, int h) {
    if (i) {
        g[i][j] = ans[h].c;
        dfs(j ? i : i-1, j ? j-1 : n-1, ans[h].i);
    } else {
        int c = g[0][0] = q[h].a;
        decode(r[q[h].s]);
        for (int i=1; i<n; ++i) g[0][i] = a[i] != a[i-1] ? c^=1 : c;
    }
}

void gen(int j, int h, int c) {
    if (cc == 0) {
        if (j+1 < n) g[m-1][n-1] = c;
        g[m-1][j] = c; dfs(j ? m-1 : m-2, j ? j-1 : n-1, h);
    }
}

int mx(int x) {
    int r = 0;
    for (int i=n-1; i>=0; --i) r = max(r, x&7), x >>= 3;
    return r;
}

bool check(char c, int x) {
    int ch = c=='.' ? -1 : c=='o';
    return ch < 0 || ch == x;
}

void solve() {
    cin >> m >> n; h = t = cc = 0; memset(d, 0, sizeof(d));
    for (int i=0; i<m; ++i) for (int j=0; j<n; ++j) cin >> s[i][j];
    for (int i=c=0, x=1<<(3*n-5); i<x; ++i) if (valid(i) && rep(i) == i) r[p[i] = c++] = i;
    for (int i=0, x=1<<n, f; i<x; ++i) if ((f = fr(i)) >= 0) d[0][a[0]][f] = 1, q[t++] = {a[0], -1, -1, f};
    for (int i=1, m1=m-1; i<m; ++i) for (int j=0; j<n; ++j) {
        if (j>0 && s[i][j]!='.' && s[i][j]==s[i][j-1] && s[i][j]==s[i-1][j] && s[i][j]==s[i-1][j-1]) {
            cout << 0 << endl; return;
        }
        int t0 = t, ch = s[i][j]=='.' ? -1 : s[i][j]=='o'; memset(inq, 0, sizeof(inq));
        while (h < t0) {
            int c0 = q[h].a, b = q[h].b, c = q[h].c, g = q[h++].s; decode(r[g]);
            int d0 = j ? e[i][j-1][c0][b][c][g] : d[i-1][c0][g], f = fc(j-1, c0), x;
            if (j == n-1) {
                if (f != b || f != c || b != c) {
                    if (f == c && a[j-1] != a[j]) for (int k=0, z=a[j]; k<n; ++k) if (a[k] == z) a[k] = a[j-1];
                    if (ch < 0 || ch == c) {
                        x = p[rep()]; ans[t] = {h-1, c}; upd(c0, x, d0, d[i][c0][x]);
                        if (i == m1 && mx(r[x]) == 1) gen(j, h-1, c), cc += d0;
                    }
                    decode(r[g]); b = 0; for (int k=0; k<n && b<2; ++k) if (a[k]==a[j]) ++b;
                    if (ch != c) {
                        if (b > 1) {
                            if (i == m1 && f != c && mx(r[g]) == 1) cc += d0, gen(j, h-1, 1^c);
                            a[j] = f==c ? n-1 : a[j-1]; x = p[rep()]; ans[t] = {h-1, 1^c}; upd(c0, x, d0, d[i][c0][x]);
                        } else if (i == m1 && f != c && check(s[m1][j], f)) {
                            a[j] = a[j-1];
                            if (rep() == 0) gen(j, h-1, 1^c), cc += d0;
                        }
                    }
                } else if (ch != f) {
                    if (i == m1 && r[g] == 0) gen(j, h-1, 1^c), cc += d0;
                    a[j] = n-1; x = p[rep()]; ans[t] = {h-1, 1^c}; upd(c0, x, d0, d[i][c0][x]);
                }
            } else if (j > 0) {
                int y = a[j+1]==a[j] ? c : 1^c;
                if (f != b || f != c || b != c) {
                    if (f == c && a[j-1] != a[j]) for (int k=0, z=a[j]; k<n; ++k) if (a[k] == z) a[k] = a[j-1];
                    if (ch < 0 || ch == c) x = p[rep()], ans[t] = {h-1, c}, upd(c0, c, y, x, d0, e[i][j][c0][c][y][x]);
                    decode(r[g]); b = 0; for (int k=0; k<n && b<2; ++k) if (a[k]==a[j]) ++b;
                    if (ch != c) {
                        if (b > 1) {
                            a[j] = f==c ? n-1 : a[j-1]; x = p[rep()]; ans[t] = {h-1, 1^c}; upd(c0, c, y, x, d0, e[i][j][c0][c][y][x]);
                        } else if (i == m1 && c != y && c != f && j+2==n && check(s[m1][n-1], f)) {
                            a[j] = a[j+1] = a[j-1];
                            if (rep() == 0) gen(j, h-1, 1^c), cc += d0;
                        }
                    }
                } else if (ch != f) a[j] = n-1, x = p[rep()], ans[t] = {h-1, 1^c}, upd(c0, c, y, x, d0, e[i][j][c0][c][y][x]);
            } else {
                c = a[1]==a[0] ? f : 1^f; b = 1;
                for (int k=1; k<n; ++k) if (a[k]==a[0]) ++b;
                if (ch < 0 || ch == f) ans[t] = {h-1, f}, upd(f, f, c, g, d0, e[i][j][f][f][c][g]);
                if (ch != f) {
                    if (b > 1) a[0] = n-1, b = 1^f, x = p[rep()], ans[t] = {h-1, b}, upd(b, f, c, x, d0, e[i][j][b][f][c][x]);
                    else if (i == m1 && f != c && n==2 && check(s[m1][1], c)) gen(j, h-1, 1^f), cc += d0;
                }
            }
        }
    }
    cout << cc << endl;
    if (cc) {
        for (int i=0; i<m; ++i) {
            for (int j=0; j<n; ++j) cout << (g[i][j] ? 'o' : '#');
            cout << endl;
        }
    }
    cout << endl;
}

int main() {
    int t; cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}