三维仿射变换矩阵

  三维仿射变换矩阵有 $3\times 4、4\times 4$两种写法，都是施加到三维点的齐次式上， $4\times 4$的仿射变换矩阵是在 $3\times 4$的矩阵后追加一行 $(0,0,0,1)$，便于通过连续左乘计算组合变换矩阵，这里只对平移、缩放、旋转三种变换展开分析，剪切、反射这两种变换暂不展开，并且对旋转变换会做比较细致的分析。

平移变换

  平移量为$(a,b,c)$的平移变换矩阵是：
[ 1 0 0 a 0 1 0 b 0 0 1 c ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & b\\ 0 & 0 & 1 & c \end{bmatrix} ​100​010​001​abc​ ​

缩放变换

  点$(x,y,z)$变成$(ax,by,cz)$的缩放矩阵是
[ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 ] \begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0\\ 0 & 0 & c & 0 \end{bmatrix} ​a00​0b0​00c​000​ ​

旋转变换

绕x、y、z单个轴旋转的变换

  三维点绕$x$轴逆时针旋转$\alpha$角的旋转变换矩阵为：
R x ( α ) = [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ] R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rx​(α)= ​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​ ​
  三维点绕$y$轴逆时针旋转$\beta$角的旋转变换矩阵为：
R y ( β ) = [ cos ⁡ β 0 sin ⁡ β 0 0 1 0 0 − sin ⁡ β 0 cos ⁡ β 0 0 0 0 1 ] R_y(\beta) = \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Ry​(β)= ​cosβ0−sinβ0​0100​sinβ0cosβ0​0001​ ​
  三维点绕$z$轴逆时针旋转$\gamma$角的旋转变换矩阵为：
R z ( γ ) = [ cos ⁡ γ − sin ⁡ γ 0 0 sin ⁡ γ cos ⁡ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] R_z(\gamma) = \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 & 0\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Rz​(γ)= ​cosγsinγ00​−sinγcosγ00​0010​0001​ ​
  因此，三维点先绕$x$轴逆时针旋转$\alpha$角，再绕$y$轴逆时针旋转$\beta$角，最后绕$z$轴逆时针旋转$\gamma$角的旋转变换矩阵为(注意顺序重要)：
R z ( γ ) R y ( β ) R x ( α ) = [ cos ⁡ γ − sin ⁡ γ 0 0 sin ⁡ γ cos ⁡ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ cos ⁡ β 0 sin ⁡ β 0 0 1 0 0 − sin ⁡ β 0 cos ⁡ β 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ] = [ cos ⁡ β cos ⁡ γ sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ γ cos ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ γ + sin ⁡ α sin ⁡ γ 0 cos ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ γ + cos ⁡ α cos ⁡ γ sin ⁡ γ sin ⁡ β cos ⁡ α − sin ⁡ α cos ⁡ γ 0 − sin ⁡ β sin ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α cos ⁡ β 0 0 0 0 1 ] \begin{matrix}R_z(\gamma) R_y(\beta)R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 & 0\\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} \cos\beta\cos\gamma & \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma−\sin\gamma\cos\alpha & \sin\beta\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\gamma & 0\\ \cos\beta\sin\gamma & \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma & \sin\gamma\sin\beta\cos\alpha−\sin\alpha\cos\gamma & 0\\ -\sin\beta & \sin\alpha\cos\beta & \cos\alpha\cos\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{matrix} Rz​(γ)Ry​(β)Rx​(α)= ​cosγsinγ00​−sinγcosγ00​0010​0001​ ​ ​cosβ0−sinβ0​0100​sinβ0cosβ0​0001​ ​ ​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​ ​= ​cosβcosγcosβsinγ−sinβ0​sinαsinβcosγ−sinγcosαsinαsinβsinγ+cosαcosγsinαcosβ0​sinβcosαcosγ+sinαsinγsinγsinβcosα−sinαcosγcosαcosβ0​0001​ ​​
  详细推导可参考这篇博客

绕任意轴旋转

  绕点$(x_0,y_0,z_0)$且单位法向量为$(a,b,c)$的轴旋转的变换矩阵为：
[ cos ⁡ θ + a 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) a b ( 1 − cos ⁡ θ ) − c sin ⁡ θ a c ( 1 − cos ⁡ θ ) + b sin ⁡ θ ( ( 1 − a 2 ) x 0 − a ( b y 0 + c z 0 ) ) ( 1 − cos ⁡ θ ) + ( c y 0 − b z 0 ) sin ⁡ θ a b ( 1 − cos ⁡ θ ) + c sin ⁡ θ cos ⁡ θ + b 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) b c ( 1 − c o s θ ) − a sin ⁡ θ ( ( 1 − b 2 ) y 0 − b ( a x 0 + c z 0 ) ) ( 1 − cos ⁡ θ ) + ( a z 0 − c x 0 ) sin ⁡ θ a c ( 1 − cos ⁡ θ ) − b sin ⁡ θ b c ( 1 − cos ⁡ θ ) + a sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) ( ( 1 − c 2 ) z 0 − c ( a x 0 + b y 0 ) ) ( 1 − cos ⁡ θ ) + ( b x 0 − a y 0 ) sin ⁡ θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos\theta + a^2(1-\cos\theta) & ab(1-\cos\theta)-c\sin\theta & ac(1-\cos\theta)+b\sin\theta & ((1-a^2)x_0-a(by_0+cz_0))(1-\cos\theta)+(cy_0-bz_0)\sin\theta \\ ab(1-\cos\theta)+c\sin\theta & \cos\theta+b^2(1-\cos\theta) & bc(1-cos\theta)-a\sin\theta & ((1-b^2)y_0-b(ax_0+cz_0))(1-\cos\theta)+(az_0-cx_0)\sin\theta \\ ac(1-\cos\theta)-b\sin\theta & bc(1-\cos\theta)+a\sin\theta & \cos\theta+c^2(1-\cos\theta) & ((1-c^2)z_0-c(ax_0+by_0))(1-\cos\theta)+(bx_0-ay_0)\sin\theta \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ​cosθ+a2(1−cosθ)ab(1−cosθ)+csinθac(1−cosθ)−bsinθ0​ab(1−cosθ)−csinθcosθ+b2(1−cosθ)bc(1−cosθ)+asinθ0​ac(1−cosθ)+bsinθbc(1−cosθ)−asinθcosθ+c2(1−cosθ)0​((1−a2)x0​−a(by0​+cz0​))(1−cosθ)+(cy0​−bz0​)sinθ((1−b2)y0​−b(ax0​+cz0​))(1−cosθ)+(az0​−cx0​)sinθ((1−c2)z0​−c(ax0​+by0​))(1−cosθ)+(bx0​−ay0​)sinθ1​ ​
  特别地，绕原点且单位法向量为$(a,b,c)$的轴旋转的变换矩阵为：
[ cos ⁡ θ + a 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) a b ( 1 − cos ⁡ θ ) − c sin ⁡ θ a c ( 1 − cos ⁡ θ ) + b sin ⁡ θ 0 a b ( 1 − cos ⁡ θ ) + c sin ⁡ θ cos ⁡ θ + b 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) b c ( 1 − c o s θ ) − a sin ⁡ θ 0 a c ( 1 − cos ⁡ θ ) − b sin ⁡ θ b c ( 1 − cos ⁡ θ ) + a sin ⁡ θ cos ⁡ θ + c 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} \cos\theta + a^2(1-\cos\theta) & ab(1-\cos\theta)-c\sin\theta & ac(1-\cos\theta)+b\sin\theta & 0 \\ ab(1-\cos\theta)+c\sin\theta & \cos\theta+b^2(1-\cos\theta) & bc(1-cos\theta)-a\sin\theta & 0 \\ ac(1-\cos\theta)-b\sin\theta & bc(1-\cos\theta)+a\sin\theta & \cos\theta+c^2(1-\cos\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ​cosθ+a2(1−cosθ)ab(1−cosθ)+csinθac(1−cosθ)−bsinθ0​ab(1−cosθ)−csinθcosθ+b2(1−cosθ)bc(1−cosθ)+asinθ0​ac(1−cosθ)+bsinθbc(1−cosθ)−asinθcosθ+c2(1−cosθ)0​0001​ ​
  详细推导可参考这篇博客