12.【线性代数】——图和网络

图 $graph=\{nodes,edges\}$

1

3

2

4

5

node1

node2

node3

node4

上图中，有4个节点（node），5条边(edge)，图上的各个数字为标号。

1.关联矩阵

A = [ − 1 1 0 0 0 − 1 1 0 − 1 0 1 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 1 ] ⏟ [ n o d e 1 , n o d e 2 , n o d e 3 , n o d e 4 ] A=\underbrace{\begin{bmatrix} -1&1&0&0\\ 0&-1&1&0\\ -1&0&1&0\\ -1&0&0&1\\ 0&0&-1&1 \end{bmatrix}}_{[node1, node2,node3,node4]} A=[node1,node2,node3,node4] ​−10−1−10​1−1000​0110−1​00011​ ​​​
每一行表示一条边，-1表示开始的节点，1表示结束的节点。第一行表示$edg{e}_1$。
$edg{e}_1$，$edg{e}_2$和$edg{e}_3$现象相关，存在回路（$edg{e}_1+edg{e}_2=edg{e}_3$）。

树：没有回路的图

把图看做是电流图。每一个节点表示电势。两个节点的电势差，形成电流。

2. $A$矩阵的零空间，求解$Ax=0$ 电势

A [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ x 2 − x 1 x 3 − x 2 x 3 − x 1 x 4 − x 1 x 4 − x 3 ] = [ 0 0 0 0 0 ] A \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2-x_1\\ x_3-x_2\\ x_3-x_1\\ x_4-x_1\\ x_4-x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} A ​x1​x2​x3​x4​​ ​= ​x2​−x1​x3​−x2​x3​−x1​x4​−x1​x4​−x3​​ ​= ​00000​ ​
解得：
x = c [ 1 1 1 1 ] x = c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} x=c ​1111​ ​

$dim(N(A))=1,那么rankA=n-1=\#nodes-1$

3.$A^T$矩阵的零空间，电流

A T y = [ − 1 0 − 1 − 1 0 1 − 1 0 0 0 0 1 1 0 − 1 0 0 0 1 1 ] [ y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 ] = [ 0 0 0 0 ] A^Ty=\begin{bmatrix} -1&0&-1&-1&0\\ 1&-1&0&0&0\\ 0&1&1&0&-1\\ 0&0&0&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\\ y_5\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} ATy= ​−1100​0−110​−1010​−1001​00−11​ ​ ​y1​y2​y3​y4​y5​​ ​= ​0000​ ​
得出：
{ − y 1 − y 3 − y 4 = 0 ( 合流 = 0 ) y 1 − y 2 = 0 ( 流入 = 流出 ) y 2 + y 3 − y 5 = 0 ( 流入 = 流出 ) y 4 + y 5 = 0 ( 合流 = 0 ) ⇒ y = c [ 1 1 − 1 0 0 ] + d [ 0 0 1 − 1 1 ] ( 两个基为图中的回路 # l o o p ) \begin{cases} -y_1 -y_3 -y_4 =0 (合流=0) \\ y_1-y_2=0 (流入=流出) \\ y_2+y_3-y_5=0(流入=流出) \\ y_4+y_5=0 (合流=0) \end{cases}\xRightarrow{} y= c\begin{bmatrix} 1\\1\\-1\\0\\0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ -1\\1 \end{bmatrix} (两个基为图中的回路\#loop) ⎩ ⎨ ⎧​−y1​−y3​−y4​=0(合流=0)y1​−y2​=0(流入=流出)y2​+y3​−y5​=0(流入=流出)y4​+y5​=0(合流=0)​ ​y=c ​11−100​ ​+d ​001−11​ ​(两个基为图中的回路#loop)

KCL定律： a. 合流 = 0 b. 流入=流出

总结电流图

欧姆定律 y=ce

KCL

电势差 e=x2-x1=AX

电流y1,y2...y5

A^Ty=f=0 f为外接电流

结论

树：没有回路的图
$dim(N(A^T))=m-r$
$\#loop=\#edges-(\#nodes-1)$

$\#nodes-\#edges+\#loop=1$（对所有图适用）