振荡器简单介绍

前言

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振荡器是一种能够将能量在两种形式之间相互转换的设备或系统，从而产生周期性运动或信号。以下是对不同类型的振荡器的数学描述：

1. 简谐振子

简谐振子的运动规律可以用一个描述恢复力与位移关系的微分方程来表达：
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=0$$
其中：

• $m$ 代表质量，
• $k$ 是弹簧常数，
• $x$ 表示位移，
• $t$ 为时间。

将方程两边同时除以 $m$：
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$
设 ${\omega }^2=\frac{k}{m}$，则方程变为：
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$
其通解为：
$$x(t)=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)$$
亦可用振幅和相位来表示：
$$x(t)=C\cos (\omega t-\varphi )$$
其中，$C$ 为振幅，$\varphi$ 为相位角。

2. 有阻尼的简谐振子

有阻尼的简谐振子的运动方程为：
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=0$$
除以 $m$：
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0$$
其中：

• $\gamma =\frac{c}{2m}$，
• ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$。

这个方程的特征方程为：
$$r^2+2\gamma r+{\omega }_0^2=0$$
解 $r$：
$$r=-\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}$$
根据根的性质，有以下三种情况：

1. 过阻尼 ($\gamma >{\omega }_0$)：两个实根。
2. 临界阻尼 ($\gamma ={\omega }_0$)：重根。
3. 欠阻尼 ($\gamma <{\omega }_0$)：共轭复根。

在欠阻尼的情况下，根为：
$$r=-\gamma \pm i\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$$
设 $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$，则解为：
$$x(t)=e^{-\gamma t}(A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t))$$
或者，用振幅和相位表示：
$$x(t)=C{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t-\varphi )$$

3. LC电路（无阻尼）

LC电路在电容器的电场能和电感器的磁场能之间振荡能量。LC电路的角频率为：
$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$$
其微分方程类似于机械振子：
$$\frac{d^{2}I}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}I=0$$
解为：
$$I(t)=C\cos \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}-\varphi \right)$$

4. RLC电路（有阻尼）

RLC电路在电气系统中振荡能量，但包括电阻器，引入阻尼：
$$\frac{d^{2}I}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{1}{LC}I=0$$
其中：

• $R$ 是电阻，
• $L$ 是电感，
• $C$ 是电容，
• $I$ 是电流。

这个方程的特征方程为：
$$r^2+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0$$
解 $r$：
$$r=-\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}$$
其中：

• $\gamma =\frac{R}{2L}$，
• ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}$。

在欠阻尼的情况下，根为：
$$r=-\gamma \pm i\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$$
设 $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$，则解为：
$$I(t)=e^{-\gamma t}(A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t))$$
或者，用振幅和相位表示：
$$I(t)=C{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t-\varphi )$$

总结：

$$\begin{array}{rl}& \text{简谐振子：}\\ & \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0\Rightarrow x(t)=C\cos (\omega t-\varphi )\\ & \text{有阻尼的简谐振子：}\\ & \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\gamma \frac{dx}{dt}+{\omega }_0^{2}x=0\Rightarrow x(t)=C{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t-\varphi )\\ & \text{LC电路（无阻尼）：}\\ & \frac{d^{2}I}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}I=0\Rightarrow I(t)=C\cos \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}-\varphi \right)\\ & \text{RLC电路（有阻尼）：}\\ & \frac{d^{2}I}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{1}{LC}I=0\Rightarrow I(t)=C{e}^{-\gamma t}\cos (\omega t-\varphi )\\ & \text{其中 }\gamma =\frac{R}{2L},\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2}\end{array}$$