02矩阵运算

矩阵运算教案

课程目标

1. 了解矩阵的基本概念和常见运算。
2. 掌握矩阵的加法、乘法、转置、行列式、逆矩阵等运算。
3. 结合 NumPy 进行矩阵运算的编程实践。

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第一部分：矩阵的基本概念

1.1 矩阵的定义

矩阵（Matrix）是一个 m × n 的数表，其中：

• m 代表行数（row）
• n 代表列数（column）

例如：

A =\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}

是一个 2×3 矩阵。

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第二部分：矩阵的基本运算

2.1 矩阵加法与减法

2.1.1 定义：矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算

2.1.2 条件：通常的矩阵加法被定义在两个相同 大小 的矩阵

举例

\left[
 \begin{matrix}
   8 & 12 & 25 \\
   33 & 28 & 44 \\
   65 & 32 & 88 \\
  \end{matrix}
  \right] = \left[
 \begin{matrix}
   2 & 20 & 40 \\
   20 & 15 & -30 \\
   30 & 20 & 70 
  \end{matrix}
  \right] + \left[
 \begin{matrix}
   6 & -8 & 15 \\
   13 & 13 & 77 \\
   35 & 12 & 18 
  \end{matrix}
  \right] \\

参考资料：
原文

2.2 矩阵数乘

矩阵乘以一个标量 ( k )：

kA =
\begin{bmatrix}
k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} \\
k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22}
\end{bmatrix}

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2.3 矩阵乘法

2.3.1 定义：

规则：矩阵 ( A ) 的列数必须等于矩阵 ( B ) 的行数（( m x n ) 和 ( n x p ) 可相乘，得到 ( m x p ) 矩阵）。
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑地集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型，如电力系统网络模型

设A为m*p的矩阵，B为p*n的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为

(AB)_i,j = ∑_k=1^pa_ikb_ki = a_i1b_1j+a_i2b_2j+……+a_ipb_pj
如下图

A=\left[
 \begin{matrix}
   a11 & a12 & a13 \\
   a21 & a22 & a23 \\
  \end{matrix}
  \right] 

  B= \left[
 \begin{matrix}
   b11 & b12 \\
   b21 & b22 \\
   b31 & b32 
  \end{matrix}
  \right] \\
  
  c = A B= \left[
 \begin{matrix}
   a11b11 + a12b12 + a13b31, & a11b21 + a12b22 + a13b32  \\
   a21b11 + a22b12 + a23b31, & a21b21 + a22b22 + a23b32
  \end{matrix}
  \right] \\
\\\
\\\
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
, \quad
B =
\begin{bmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{bmatrix}

\\\
AB =
\begin{bmatrix}
1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\
4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{bmatrix}


  

2.3.2 注意事项

1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。
2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

2.3.3 基本性质

1、乘法结合律： (AB)C=A(BC)
2、乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
3、乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
4、对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB)
5、转置 (AB)T=BTAT．
6、矩阵乘法一般不满足交换律。

网文链接

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第三部分：矩阵的特殊运算

3.1 矩阵的转置

定义：矩阵 A 的转置 A^T 是将行变为列，列变为行。
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$
A T = [ 1 4 2 5 3 6 ] A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} AT= ​123​456​ ​

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3.2 矩阵的行列式（仅限方阵）

2×2 矩阵的行列式计算：
$$\text{det}(A)=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$$
3×3 矩阵的行列式：
A = [ a b c d e f g h i ]   det ( A ) = a ( e i − f h ) − b ( d i − f g ) + c ( d h − e g ) A= \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \\\ \\ \text{det}(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) A= ​adg​beh​cfi​ ​ det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)

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3.3 矩阵的逆

定义：如果一个矩阵 ( A ) 存在 逆矩阵 ( A^-1 )，满足：A A^-1 = I则称 ( A ) 为 可逆矩阵;换言之矩阵可逆的前提是该矩阵的行列式不为0。

计算公式（2×2 矩阵）：
$$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

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第四部分：编程实践（NumPy 实现）

import numpy as np

# 矩阵定义
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 矩阵加法
C = A + B
print("A + B:\n", C)

# 矩阵乘法
D = np.dot(A, B)
print("A * B:\n", D)

# 矩阵转置
print("A^T:\n", A.T)

# 计算行列式
det_A = np.linalg.det(A)
print("det(A):", det_A)

# 计算逆矩阵
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("A^(-1):\n", A_inv)

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课程总结

✅ 掌握了矩阵的基本运算：加法、乘法、转置、行列式、逆矩阵。
✅ 理解了矩阵的数学性质。
✅ 使用 NumPy 进行矩阵计算，提高编程能力。