华为OD-2024年E卷-分批萨[100分]

题目描述

吃货"和"馋嘴"两人到披萨店点了一份铁盘（圆形）披萨，并嘱咐店员将披萨按放射状切成大小相同的偶数个小块。但是粗心的服务员将披萨切成了每块大小都完全不同奇数块，且肉眼能分辨出大小。
由于两人都想吃到最多的披萨，他们商量了一个他们认为公平的分法：从"吃货"开始，轮流取披萨。除了第一块披萨可以任意选取外，其他都必须从缺口开始选。
他俩选披萨的思路不同。"馋嘴"每次都会选最大块的披萨，而且"吃货"知道"馋嘴"的想法。
已知披萨小块的数量以及每块的大小，求"吃货"能分得的最大的披萨大小的总和。

输入描述

第 1 行为一个正整数奇数 N，表示披萨小块数量。

• 3 ≤ N < 500

接下来的第 2 行到第 N + 1 行（共 N 行），每行为一个正整数，表示第 i 块披萨的大小

• 1 ≤ i ≤ N

披萨小块从某一块开始，按照一个方向次序顺序编号为 1 ~ N

• 每块披萨的大小范围为 [1, 2147483647]

输出描述

吃货"能分得到的最大的披萨大小的总和。

用例1

输入:
5
8
2
10
5
7

输出:
19

说明:
此例子中，有 5 块披萨。每块大小依次为 8、2、10、5、7。
按照如下顺序拿披萨，可以使"吃货"拿到最多披萨：
“吃货” 拿大小为 10 的披萨
“馋嘴” 拿大小为 5 的披萨
“吃货” 拿大小为 7 的披萨
“馋嘴” 拿大小为 8 的披萨
“吃货” 拿大小为 2 的披萨
至此，披萨瓜分完毕，"吃货"拿到的披萨总大小为 10 + 7 + 2 = 19
可能存在多种拿法，以上只是其中一种。

解题思路

给定一个环形排列的披萨数组，每块披萨有一个美味值，需要计算出从任意位置开始，能够获得的最大美味值总和。

1. 环形处理：由于披萨是环形排列的，所以在选择披萨时需要考虑边界情况，即当选择了最左边或最右边的披萨后，如何循环到另一端。

2. 动态规划：使用一个二维数组 dp 作为记忆化存储，其中 dp[L][R] 表示从左边界 L 到右边界 R 能够获得的最大美味值。如果 dp[L][R] 已经被计算过，则直接返回该值。

3. 递归计算：定义一个递归函数来计算 dp[L][R]。如果 a[L]（左边界的披萨美味值）大于 a[R]（右边界的披萨美味值），则选择 L 并将L向右移动一位；否则选择 R 并将 R 向左移动一位。这样递归地选择下一步，直到只剩下一块披萨。

4. 递归基：当左右边界相遇时（即 L == R），说明只剩下一块披萨，直接返回这块披萨的美味值作为递归基。

5. 状态转移：在递归过程中，dp[L][R] 的值是通过比较选择左边界披萨和右边界披萨后，剩下披萨的最大美味值之和来确定的。

Python3源码

# 读取披萨的数量
n = int(input())
# 读取每块披萨的美味值
arr = [int(input()) for _ in range(n)]

# 初始化 dp 数组，dp为记忆化数组，用于存储已计算过的状态
dp = [[-1]*n for _ in range(n)]

#计算最大披萨的函数
def cal_max(L,R):
	# 如果已计算过，直接返回结果
    if dp[L][R] != -1:
        return dp[L][R]
    # 根据美味值选择吃掉左边或右边的披萨
    if arr[L] > arr[R]:
        L = (L+1)%n
    else:
        R = (R+n-1)%n
    # 如果只剩一块披萨，返回其美味值
    if L == R:
        dp[L][R] = arr[L]
    else:
        dp[L][R] = max(arr[L]+cal_max((L+1)%n,R),arr[R]+cal_max(L,(R+n-1)%n))
    return dp[L][R]

# 初始化最大美味值为 0
ans = 0
# 计算并更新最大美味值
for i in range(n):
    ans = max(ans,cal_max((i+1)%n,(i+n-1)%n)+arr[i])

# 输出最多能吃到的披萨的美味值总和
print(ans)