非线性动力学笔记C2.1-2.2 一维流动中的不动点和稳定性

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前言

提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：

参考书《Nonlinear dynamics and chaos》 Steven H. Strogatz
本节重点Note第二章内容的引言的1-2小节，图片来自于该书

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C2一维流动（flow on a line)

引言

上一篇笔记提到了常微分方程可以表示成如下形式
$$\begin{gathered} {\dot{x}}_1=f_1(x_1,\dots ,x_n) \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_n=f_n(x_1,\dots ,x_n)(1) \end{gathered}$$
这里我们把$n$记作系统的阶（order)，或者维度(dimension)
我们先举一个$n=1$简单的例子：
$$\dot{x}=f(x)$$
这里，x(t) 是时间 t 的实值函数，而 f(x) 是 x 的光滑实值函数。我们将这样的方程称为一维的或一阶系统。
注意：“系统”一词为动力系统概念

2.1几何思考方式

在上一节笔记中我们可以把微分方程看作向量场提到$n$阶系统的解可以被可视化为在具有坐标$(x_1,x_2\dots \dots x_n)$的 $n$ 维相空间中流动的轨迹。
我们以如下方程为例:
$$\dot{x}=\sin x.\text{\hspace{1em}(2)}$$
在求解之前，我们可以从向量场的角度画出如下的图：

图1：$\dot{x}$的随x变化的相图

箭头示当$x$取到这个值的时候的速度场的方向；也就是说当有一个虚拟的粒子处于$x\in (0,\pi )$时，它会沿着$x$增大的方向流动，当$x\in (\pi ,2\pi )$时，它会沿着$x$减小的方向流动，而当$x=\pi$时，他就会停止流动，因此我们可以把$x=\pi$称作方程的一个稳定的不动点（stable fixed point); 我们这里用实心点来表示；当$x=0$时，也会停止流动，但是而由于$x\in (0,\pi )$时，它会沿着$x$增大的方向流动，而当$x\in (-\pi ,0)$它会沿着$x$减小的方向流动,也就是很小的微扰就会让方程偏离这个不动点，因此我们将其称为不稳定不动点（unstable fixed point),用空心点表示。

方程2解析解为
t = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x 0 + cot ⁡ x 0 csc ⁡ x + cot ⁡ x ∣ . t = \ln \left| \frac{\csc x_0 + \cot x_0}{\csc x + \cot x} \right|. t=ln ​cscx+cotxcscx0​+cotx0​​ ​.
我们将$x_0=\frac{\pi }{4}$时的解析解画出来，如下：
我们可以观察到随着时间的演化，解逐渐靠近$x=\frac{\pi }{4}$

（求解过程见Appendix 1）
如果我们将$x$取不同初值时随时间的变化曲线画出来，可以得到如下的图：

我们可以观察到两个稳定的不动点，和一个不稳定的不动点，与之前的几何分析一致。

2.不动点（fixed point)与稳定性（stability)

整理一下相关的 概念如下：
相点（phase point) : 相空间中的点.
轨迹（trajectory) : 随着时间的推移，相点（phase point）沿着 $x$ 轴(一维的情况)根据某个函数 $x(t)$ 移动。这个函数被称为基于 $x_0$的轨迹（trajectory），它代表了从初始条件 $x_0$开始的微分方程的解.
相图（phase portrait) : 我们把图1这样$\dot{x}$随$x$变化的图叫做相图，通过相图，可以直观地观察到系统的动态行为，如不动点、周期轨道、稳定性等特征.
不动点（fixed point) : 我们将$\dot{x}=0$的点叫做不动点，因为此时速度为0,而不动点也可以称为原方程的平衡解(equilibrium solution),因为如果初始值为$x^{\ast }=x$,那么$x$的值将始终不变，即$x(t)=x$.
不动点稳定性(stability) ：实心黑点代表稳定的稳定不动点（stable fixed point)（通常称为吸引子或汇点，因为流动是朝向它们的），而空心圆圈代表不稳定的不动点(unstable fixed point)(也称为排斥子或源点)。我们称一个不动点时稳定的是因为给定一个足够小的围绕，该扰动会随时间衰减（damp out）

Appendix

1