数学建模与MATLAB实现：无约束优化

无约束优化是数学建模中的一个重要问题，广泛应用于工程、经济、管理等领域。本文介绍了无约束优化的基本思想、常用算法，并重点讲解了如何使用MATLAB求解无约束优化问题。

---

一、无约束优化问题

无约束优化问题的标准形式为：

$$\min f(x)$$

其中，( x ) 是决策变量，( f(x) ) 是目标函数。无约束优化的目标是找到使目标函数 ( f(x) ) 最小的 ( x ) 值。

---

二、无约束优化的基本算法

1. 最速下降法

最速下降法是一种基本的优化算法，适用于寻优过程的前期迭代。其优点是计算量小，存储变量少，初始点要求不高；缺点是收敛速度较慢。

算法步骤：

1. 选择初始点 ( x_0 )。
2. 计算梯度 ( \nabla f(x_k) )。
3. 沿负梯度方向进行搜索，更新 ( x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k) )。
4. 重复步骤2和3，直到满足收敛条件。

2. 牛顿法

牛顿法利用目标函数的二阶导数信息，收敛速度较快。如果目标函数是二次函数，牛顿法可以一步达到最优点。

算法步骤：

1. 选择初始点 ( x_0 )。
2. 计算梯度 ( \nabla f(x_k) ) 和 Hessian 矩阵 ( H(x_k) )。
3. 更新 ( x_{k+1} = x_k - H(x_k)^{-1} \nabla f(x_k) )。
4. 重复步骤2和3，直到满足收敛条件。

3. 拟牛顿法

拟牛顿法通过近似 Hessian 矩阵来避免直接计算二阶导数，常用的方法包括 BFGS 和 DFP 算法。

---

三、MATLAB中的无约束优化函数

MATLAB提供了多种求解无约束优化问题的函数，常用的有 fminbnd、fminunc 和 fminsearch。

1. fminbnd 函数

fminbnd 用于求解一维无约束优化问题，基于黄金分割法和二次插值法。

调用格式：

x = fminbnd(fun, x1, x2)
[x, fval] = fminbnd(fun, x1, x2)

示例：

f = @(x) 2*exp(-x).*sin(x);
[xmin, ymin] = fminbnd(f, 0, 8);
disp(['最小值点：', num2str(xmin)]);
disp(['最小值：', num2str(ymin)]);

2. fminunc 函数

fminunc 用于求解多维无约束优化问题，支持大型和中型优化算法。

调用格式：

x = fminunc(fun, x0)
[x, fval] = fminunc(fun, x0)

示例：

fun = @(x) exp(x(1))*(4*x(1)^2 + 2*x(2)^2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1);
x0 = [-1, 1];
[x, fval] = fminunc(fun, x0);
disp(['最优解：', num2str(x)]);
disp(['目标函数值：', num2str(fval)]);

3. fminsearch 函数

fminsearch 使用单纯形法求解多维无约束优化问题，适用于目标函数不可导的情况。

调用格式：

x = fminsearch(fun, x0)
[x, fval] = fminsearch(fun, x0)

示例：

fun = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
x0 = [-1.2, 2];
[x, fval] = fminsearch(fun, x0);
disp(['最优解：', num2str(x)]);
disp(['目标函数值：', num2str(fval)]);

---

四、MATLAB优化工具箱的使用

MATLAB的优化工具箱提供了丰富的函数和选项，用户可以通过 optimset 函数设置优化参数。

1. 设置优化参数

options = optimset('Display', 'iter', 'TolFun', 1e-8);

2. 使用优化参数

[x, fval] = fminunc(fun, x0, options);

---

五、应用实例

实例1：水槽容积最大化问题

对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

MATLAB代码：

fun = @(x) -(3 - 2*x).^2 * x;
[xmax, fmax] = fminbnd(fun, 0, 1.5);
disp(['剪掉的正方形边长：', num2str(xmax)]);
disp(['最大容积：', num2str(-fmax)]);

运行结果：

剪掉的正方形边长：0.5
最大容积：2

实例2：Rosenbrock函数优化

Rosenbrock函数是一个经典的无约束优化问题，其形式为：

$$f(x)=100(x_2-x_1^2{)}^2+(1-x_1{)}^2$$

MATLAB代码：

fun = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
x0 = [-1.2, 2];
[x, fval] = fminsearch(fun, x0);
disp(['最优解：', num2str(x)]);
disp(['目标函数值：', num2str(fval)]);

运行结果：

最优解：1.0000  1.0000
目标函数值：1.9151e-010

---

六、总结

本文介绍了无约束优化的基本概念和常用算法，重点讲解了如何使用MATLAB求解无约束优化问题。通过 fminbnd、fminunc 和 fminsearch 等函数，用户可以方便地求解一维和多维无约束优化问题。MATLAB的优化工具箱提供了丰富的选项，用户可以根据需要设置优化参数，以获得更好的优化效果。

无约束优化在数学建模中有着广泛的应用，掌握其基本原理和MATLAB实现方法对于解决实际问题具有重要意义。