GESP真题解析 (选取一部分9月） & 如何速通GESP？两篇文章教会你！（下）（通过题目来讲）

六级

[GESP202409 六级] 小杨和整数拆分

题目描述

小杨有一个正整数 $n$，小杨想将它拆分成若干完全平方数的和，同时小杨希望拆分的数量越少越好。

编程计算总和为 $n$ 的完全平方数的最小数量。

输入格式

输入只有一行一个正整数 $n$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

18

样例输出 #1

2

提示

数据规模与约定

对全部的测试数据，保证 $1\le n\le 10^5$。

这道题是我之前讲过的DP，相信不难看出吧，六级考的都是简单一维DP，这里用 $f(i)$ 表示总和为 $i$ 的完全平方数的最小数量，转移不难，直接放代码，具体看：

#include 
using namespace std;
int n;
int f[100100];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[1] = 1, f[0] = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int j = sqrt(i); i - int(j * j) <= i && j > 0; j--) {
			f[i] = min(f[i], f[i - int(j * j)] + 1);
		}
	}
	printf("%d", f[n]);
	return 0;
}

树的知识稍后扩展，暂不做讲解。

七级

[GESP202409 七级] 矩阵移动

题目描述

小杨有一个有一个 $n\times m$ 的矩阵，仅包含 01? 三种字符。矩阵的行从上到下编号依次为 $1,2,\dots ,n$，列从左到右编号依次为 $1,2,\dots ,m$。小杨开始在矩阵的左上角 $(1,1)$，小杨只能向下或者向右移动，最终到达右下角 $(n,m)$ 时停止，在移动的过程中每经过一个字符 1 得分会增加一分（包括起点和终点），经过其它字符则分数不变。小杨
的初始分数为 $0$ 分。

小杨可以将矩阵中不超过 $k$ 个字符 ? 变为字符 1。小杨在修改矩阵后，会以最优的策略从左上角移动到右下角。他想
知道自己最多能获得多少分。

输入格式

第一行包含一个正整数 $t$，代表测试用例组数，接下来是 $t$ 组测试用例。对于每组测试用例，一共 $n+1$ 行。

第一行包含三个正整数 $n,m,x$，含义如题面所示。
之后 $n$ 行，每行一个长度为 $m$ 的仅含 01x? 的字符串。

输出格式

对于每组测试用例，输出一行一个整数，代表最优策略下小杨的得分最多是多少。

样例 #1

样例输入 #1

2
3 3 1
000
111
01?
3 3 1
000
?0?
01?

样例输出 #1

4
2

提示

样例 1 解释

对于第二组测试用例，将 $(1,1)$ 或者 $(3,3)$ 变为 $1$ 均是最优策略。

数据规模与约定

子任务编号	数据点占比	$t$	$n,m$	$x$
$1$	$30\%$	$\le 5$	$\le 10$	$=1$
$2$	$30\%$	$\le 10$	$\le 500$	$\le 30$
$3$	$40\%$	$\le 10$	$\le 500$	$\le 300$

对全部的测试数据，保证 $1\le t\le 10$，$1\le n,m\le 500$，$1\le x\le 300$，保证所有测试用例 $n\times m$ 的总和不超过 $2.5\times 10^5$。

可以看，算比较简单的DP吧，很暴力，$f(i,j,k)$，多一维处理 $?$。代码：

#include
using namespace std;
char a[510][510];
int f[510][510][310];
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n,m,k;
		cin>>n>>m>>k;
		for(int i=1;i <= n;i++){
			for(int j=1;j <= m;j++){
				cin>>a[i][j];
			}
		}
		memset(f,0,sizeof(f));
		for(int i=1;i <= n;i++){
			for(int j=1;j <= m;j++){
				for(int x=0;x <= k;x++){
					if(a[i][j]!='?'){
						f[i][j][x]=max(f[i-1][j][x],f[i][j-1][x])+1;
						if(a[i][j]=='0') f[i][j][x]--;
					}else{
						f[i][j][x]=max(f[i-1][j][x],f[i][j-1][x]);
						if(x!=0)f[i][j][x]=max(f[i][j][x],max(f[i-1][j][x-1],f[i][j-1][x-1])+1);
					}
				}
			}
		}
		int ans=0;
		for(int i=0;i <= k;i++){
			ans=max(ans,f[n][m][i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	
	
	return 0;
}

T2后面图论讲，会在12月7日前。

八级

[GESP202409 八级] 手套配对

题目描述

小杨有 $n$ 对不同的手套，每对手套由左右各一只组成。

小杨想知道从中取出 $m$ 只手套，恰好包含 $k$ 对手套的情况有多少种。

小杨认为两种取出的情况不同，当且仅当两种情况取出的手套中存在不同的手套（同一对手套的左右手也视为不同的手套）。

输入格式

本题单个测试点内由多组测试数据。第一行是一个整数 $t$，表示测试用例数量。接下来是 $t$ 组测试用例，每组一行。

每组数据只有一行三个正整数 $n,m,k$，表示手套数量、取出的手套数和目标对数。

输出格式

对每组数据，输出一行一个整数表示答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2
5 6 2
5 1 5

样例输出 #1

120
0

提示

子任务	占比	$t$	$n$	$m$	$k$
$1$	$30\%$	$\le 5$	$1000$	$\le 3$	$=1$
$2$	$30\%$	$\le 5$	$\le 5$	$\le 10$	$\le 5$
$3$	$40\%$	$10^5$	$1000$	$2000$	$2000$

对全部的测试数据，保证 $1\le t\le 10^5$，$1\le n\le 1000$，$1\le m\le 2\times n$，$1\le k\le n$。

$\because$ 恰好包含 $k$ 对手套的情况。$\therefore$ $C_n^k$，则答案为 $C_n^k\cdot C_{2(n-k)}^{m-2k}$，不作详细代码。

树上&图上DP下章讲！