傅里叶变换理解

傅里叶变换(Fourier Transform)是一种数学工具,它可以把复杂的信号分解成不同频率的正弦波。就像我们把一首歌分解成不同的音调(低音、中音、高音)一样,傅里叶变换能帮我们看清信号里有哪些频率成分。

严格来讲其实傅里叶又有多种形式,大致是傅里叶级数,离散傅里叶级数,傅里叶变换....但是这里我们着重讲关于傅里叶的理解,并不会涉及到严格的公式推导,只希望大家看完这篇文章可以知道傅里叶变换究竟是个什么东西,是什么样的角度。

1. 为什么需要傅里叶变换?

在现实世界中,信号(比如声音、图像、心电图)通常是复杂的,直接分析可能很困难。但如果能把它拆分成简单的波(正弦波和余弦波),就更容易理解和处理。例如:

  • 声音信号:不同的乐器演奏出的声音是由不同的频率组成的,傅里叶变换可以分析每种乐器的特征。
  • 图像处理:可以用傅里叶变换来分析图像的细节和纹理,比如去除噪声或增强特定特征。
  • 电路分析:在电子信息领域,电路中的交流信号可以用傅里叶变换分析频率响应,优化滤波器设计。

2. 它是怎么做的?

傅里叶变换的核心思想是:任何周期信号都可以由一系列正弦波的加和表示
假设你有一个复杂的波形,它可能是多个不同频率的正弦波叠加而成的。傅里叶变换可以拆解这个波形,找到其中每个正弦波的频率、幅度和相位。

我们用示波器看到了一个个的矩形方波,但是放到频域里面其实是各个不同频率的正弦波按照不同的比例组合形成的。

傅里叶变换理解_第1张图片

这里P1就是我们通常说的时域图,P2就是P1从频域的角度看到的一个新的图像。像这里p2中看到的那个10hz或者20hz的那些竖线其实就代表着这个频率的正弦波所含比例

也可以这么理解   p1=a1cos10Ωt  + a2cos20Ωt。。。这样一直下去,随着所加频率的增多,在频域所呈现的图形会越来越趋向于p1。

然后你在学这个的时候呢,会看到各种各样的公式,实际上这些公式都是在告诉你怎么求出频域里面的a1 a2这些的。所以可能会因为这些个公式很复杂你会觉得傅里叶变换这玩意儿也很复杂,但是千万不要这么想,傅里叶变换从头到尾就只做了一件事情,就是让你从频域的角度去看待一个事件。  (重要的是理解,然后说要去写这方面的题目,记得把公式背下来,这个没有难的,就是背,尤其是要考研的人,一定一定背下来哦)

ps:这里注意了,他有离散傅里叶跟连续傅里叶,然后还有周期和非周期的区别,所以记的时候不要记混了。

实在不知道怎么学可以这样。1.先背这个变化的使用范围,比如这个是连续周期傅里叶变换,那个是连续非周期傅里叶变换等等。2.背他的公式,就最初的推导式(从时域到频域还有从频域到时域变换公式)。3.背常用的变换(傅里叶这方面其实大多数考试都不会让你去推到,把常用的背下来就够用了)。4.背相对应的性质。这些做完对于傅里叶变换的题目就基本都能写了,不会写的看一下答案你也可以看懂,不会出现看了答案还不知道在讲什么的情况。(我当时考研是这样的)

3. 类比理解(很重要嗷xdm)

假设你在看一部高清电影,每一帧都是一张图片,而图片本质上是由不同颜色和亮度组成的像素点

如果你把这些像素的亮度值画出来,它可能是一个很复杂的图案:

原始图像(时域数据):由许多像素点组成的复杂画面
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存储一部高清电影需要大量的数据,如果直接存储每个像素的信息,文件会非常大(比如几百GB)。

正如我们在看一个视频,下方会有一个进度条,在这个进度条的每一秒每一帧组成了为我们看到的这个以时间为单位的视频,傅里叶变换做的其实也是这样的事情,它讲述的是每个频率下发生的事情,这些不同的事情组合起来形成我们所看到的世界。比如在频域范围内10HZ下有一个水杯掉下来,20HZ有一个人在下面经过,他们组合在一起后就变成了人被水杯砸到了这样的一个事件。 

2. 傅里叶变换:把画面分解成不同频率的成分

视频的画面并不是随机的,而是由一些低频(大块颜色)+ 高频(细节、边缘)组成的,比如:

  • 低频部分:画面的大区域颜色(比如一片蓝天)
  • 高频部分:边缘、细节(比如树叶的边缘、人物轮廓)

傅里叶变换的作用就是把图像分解成不同频率的“成分”,让我们可以只保留最重要的低频信息,而忽略一些不太重要的高频细节(比如轻微的噪声)。

结果是:

  • 低频:大面积平滑颜色
  • 高频:边缘、细节
  • 我们可以丢弃一部分高频数据来压缩视频,而人眼几乎察觉不到损失!

这里其实也解释了为什么要有傅里叶变换的原因了。

4. 快速傅里叶变换(FFT)

傅里叶变换的计算量很大,为了提高速度,工程上通常使用 快速傅里叶变换(FFT,Fast Fourier Transform),它能在短时间内计算出结果,所以在信号处理、图像处理等领域被广泛使用。

5. 结果怎么看?

傅里叶变换的结果通常是一个 频谱图,横轴是频率,纵轴是该频率的强度。通过分析频谱图,可以判断信号的主要组成部分,进而进行滤波、压缩等操作。

6. 直观示例

假设你录了一段话,然后用傅里叶变换分析,结果可能会告诉你:

  • 你的声音主要集中在 200Hz 到 3000Hz 之间(符合人声范围)。
  • 背景噪音可能是 50Hz(电流噪声)。
  • 如果要去除噪音,可以在 50Hz 处使用一个滤波器削弱它。

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