蓝桥杯 机器人塔

题目描述

X 星球的机器人表演拉拉队有两种服装，A 和 B。

他们这次表演的是搭机器人塔。

类似：

A

B B

A B A

A A B B

B B B A B

A B A B B A

队内的组塔规则是：

A 只能站在 AA 或 BB 的肩上。

B 只能站在 AB 或 BA 的肩上。

你的任务是帮助拉拉队计算一下，在给定 A 与 B 的人数时，可以组成多少种花样的塔。

输入描述

输入一行两个整数 M,NM,N（0

输出描述

要求输出一个整数，表示可以产生的花样种数。

输入输出样例

示例

输入

1 2

输出

3

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存: 256M

题意

给定 A 和 B 两种机器人的个数 M 和 N ，A 可以站在两个相同种类的机器人上面，B 可以站在两个不同种类的机器人上面。要求站成一个三角形，问有多少种不同的方法。(N,M < 500)

分析

基本面

1. 机器人总数 cnt = M+N，那么可以做多少层？可以这样思考，假设有 num 层，这就是长度为 num 步长为 1 的等差数列，那么塔内机器人总数 cnt = num*(num+1)/2 = M+N，所以 num = sqrt((M + N) * 2)。

2. 只要确定了底层机器人的摆放规则，就可以按照层数由低到高，依次算出每一排机器人的摆放。不同的机器人上面站 A，相同的机器人上面站 B。

最初的思路

所以直觉的思路是，从最下一层，确定一个 AB 的排列（AB 个数总数就是层数），推出上一层的排列……直到第一层的机器人，在这个过程中记录使用到的 A 和 B 的数目，然后做一个 check 看这个由最下层决定的摆法是否合法，合法就答案 +1；继续下一种最下层的 AB 排列。

转化

若把 A 看成 0，把 B 看成 1，则异或运算可以很好的算出两个机器人上面的机器人类型。

AB 排列，视为 01 串，其整数值为 x，那么其上层 AB-01 串的整数值 y 的计算公式：

y =  x ^ (x右移一位)然后去掉最高位

举例来说：

A B A B B A 转为二进制是 x = 010110，相邻位从左到右异或等价于 x^(x>>1) 结果为 y=011101，y 的高位无意义应去掉，最终结果为 y=11101 即 BBBAB，因此计算 y 值的伪代码是：

y = x ^ (x>>1)

y &= (1 << (i - 1))  - 1 // 等号右边的式子可以把最高位右侧全部置为1

这样就变成了一个高效的迭代算法。

 

依据机器人总数算出第一层机器人的数量，枚举第一层机器人的摆放顺序，把 A 看成 0，把 B 看成 1。之后用异或运算可以快速的检查这种方法是否可行，如果可行，则统计答案加一。时间复杂度 O( 2^sqrt(N + M))。

#include
#include
#include

using namespace std;


int n, m;
int nbit(int num) {
    int ans = 0;
    while(num){
        num = (num-1) & num;
        ans++;
    }
    return ans;
}
bool check(int now, int floor) {
    int num_a = 0, num_b = 0;

    for (int i = floor; i >= 1; i--) {//i是层数，也是机器人个数
        int count1 = nbit(now);//now里面有多少1
        num_b += count1;
        num_a += i - count1;//now里面有多少0
        //下面开始求上一层的now
        now ^= now >> 1;
        now &= (1 << (i - 1)) - 1; // 消掉高位

        if (num_a > m || num_b >> n) return false;// 可以提升一点性能
    }
    return num_a == m && num_b == n;
}

int main() {
//    freopen("/Users/zhengwei/CLionProjects/lq_final/2016_c_b/4/in6.txt", "r", stdin);
    cin >> m >> n;
    //利用double转int类型向下取整得性质，由(floor + 1) * (floor) / 2 == n + m 推导得
    int floor = sqrt((n + m) * 2);//底行人数==层数

    int ans = 0;
    //2的floor次方种排列方案，每一种方案表示为i
    for (int i = 0; i < (1 << floor); i++) {
        if (check(i, floor))
            ans++;
    }
    cout << ans << endl;
}