物理运动模拟基础
牛顿定律
第一定律：若物体所受外力为0，则物体保持静止或匀速直线运动
第二定律：物体的动量随时间的变化率与受力成正比。 F = d p d t = m d v d t = m a F=\frac{dp}{dt}=\frac{mdv}{dt}=ma F=dtdp=dtmdv=ma，一般物理模拟使用这个公式
第三定律：相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力大小想等，方向相反，作用在同一直线上。
匀加速运动
设物体的质量为m，初始速度为v0，当前速度为v，时间为t，加速度为a，位置x，运动的距离为s。则有：
速度是位置的变换率： v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=dtdx
加速度是速度的变换率： a = d v d t = d 2 x d t 2 a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2} a=dtdv=dt2d2x
相反，位置是速度对时间的积分： x = ∫ v d t x=\int{vdt} x=∫vdt
速度是加速度对时间的积分： v = ∫ a d t v=\int{adt} v=∫adt
v = ∫ a d t = a t + c , 因为初速度为 v 0 , v = v 0 + a t x = ∫ v d t = ∫ ( v 0 + a t ) d t = ∫ v 0 d t + ∫ a t d t = v 0 t + 1 2 a t 2 + c , c 为初始位置 x 0 x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 所以，通过求解速度对时间的积分，我们就可以已知 x 0 求出 x v=\int{adt}=at+c,因为初速度为v_0,v=v_0+at \\ x=\int{vdt}=\int{(v_0+at)dt}=\int{v_0dt}+\int{atdt}=v_0t+\frac{1}{2}at^2+c,c为初始位置x_0 \\ x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \\ 所以，通过求解速度对时间的积分，我们就可以已知x_0求出x v=∫adt=at+c,因为初速度为v0,v=v0+atx=∫vdt=∫(v0+at)dt=∫v0dt+∫atdt=v0t+21at2+c,c为初始位置x0x=x0+v0t+21at2所以，通过求解速度对时间的积分，我们就可以已知x0求出x
对于非匀加速运动，我们可以将物体在极短时间内的运动看作匀加速运动。假设物体当前的速度为v1，位置为x1，经过极短的时间dt，如果我们知道物体的受力，就可以求出物体的加速度，根据上面的计算，就可以求出x2。
数值积分方法
当我们将物体在极短时间的运动看作是匀加速运动时，这个极短的时间必须非常小，无限小。但在游戏中，我们每帧的时间可能为30ms，离无限小差很远的，所以是无法准确模拟现实的。我们会采取一些数值积分的方法来达到近似的效果。
欧拉积分方法
注意和欧拉积分区别，欧拉积分方法的公式如下
v n + 1 = v n + a n d t x n + 1 = x n + v n d t v_{n+1}=v_{n} + a_ndt \\ x_{n+1}=x_n+v_ndt vn+1=vn+andtxn+1=xn+vndt
注意公式是用的 v n d t v_ndt vndt，使用的是开始速度，我们也可以使用结束速度 v n + 1 d t v_{n+1}dt vn+1dt，或平均速度 v n + v n + 1 2 d t \frac{v_n+v_{n+1}}{2}dt 2vn+vn+1dt，让我们处理下上面计算出来的公式
x n + 1 = x n + v n d t + 1 2 a n d t 2 设 d v = v n − 1 − v n = a n d t , 则 x n + 1 = x n + v n d t + 1 2 d v d t = x n + ( v n + 1 2 d v ) d t = x n + v n + v n + 1 2 d t x_{n+1}=x_n+v_ndt+\frac{1}{2}a_ndt^2 \\ 设dv = v_{n-1}-vn=a_ndt,则 \\ x_{n+1}=x_n+v_ndt+\frac{1}{2}dvdt=x_n+(v_n+\frac{1}{2}dv)dt=x_n+\frac{v_n+v_{n+1}}{2}dt xn+1=xn+vndt+21andt2设dv=vn−1−vn=andt,则xn+1=xn+vndt+21dvdt=xn+(vn+21dv)dt=xn+2vn+vn+1dt
所以欧拉积分方法采用平均速度较开始速度和平均速度精度高。
已知物体的质量为m，当前的位置为x1，速度为v1，求dt时间后物体的位置x2，速度v2。
我们可以先分析物体的受力，求出物体的合力 F ，根据牛顿第二定律 a = F m , 则 v 2 = v 1 + a d t x 2 = x 1 + v 1 + v 2 2 d t 我们可以先分析物体的受力，求出物体的合力F，根据牛顿第二定律a=\frac{F}{m},则 \\ v_2=v_1+adt \\ x_2=x_1+\frac{v_1+v_2}{2}dt 我们可以先分析物体的受力，求出物体的合力F，根据牛顿第二定律a=mF,则v2=v1+adtx2=x1+2v1+v2dt
在下一帧的时候，我们已知x2和v2，就可以求出x3，v3，以此类推，就可以求出整个运动轨迹了。
韦尔莱积分方法
泰勒级数可以将一个函数f(x)在某个值x=a附近进行展开，
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n 设 Δ x = x − a ，则上式可以写成 f ( x + Δ x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x ) n ! Δ x n f ( x + Δ x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) Δ x + 1 2 f ′ ′ ( x ) Δ x 2 + 1 6 f ′ ′ ′ ( x ) Δ x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \\ 设\Delta x = x-a，则上式可以写成 \\ f(x+\Delta x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x)}{n!} \Delta x^n \\ f(x+ \Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x)\Delta x^2 + \frac{1}{6}f'''(x)\Delta x^3 + \cdot \cdot \cdot f(x)=n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n设Δx=x−a，则上式可以写成f(x+Δx)=n=0∑∞n!f(n)(x)Δxnf(x+Δx)=f(x)+f′(x)Δx+21f′′(x)Δx2+61f′′′(x)Δx3+⋅⋅⋅
回到问题，在dt的时间内，我们无法知道位置的准确路径，但是我们仍可以用一个方程来表示它,设为方程x=f(t)，使用泰勒级数展开
f ( t + Δ t ) = f ( t ) + f ′ ( t ) Δ t + 1 2 f ′ ′ ( t ) Δ t 2 + 1 6 f ′ ′ ′ ( t ) Δ x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ f(t+ \Delta t)=f(t)+f'(t)\Delta t + \frac{1}{2}f''(t)\Delta t^2 + \frac{1}{6}f'''(t)\Delta x^3 + \cdot \cdot \cdot f(t+Δt)=f(t)+f′(t)Δt+21f′′(t)Δt2+61f′′′(t)Δx3+⋅⋅⋅
f ′ ( t ) f'(t) f′(t)为位置关于时间的导数，但是我们不知道 f ( x ) f(x) f(x)的方程，怎么求倒数呢？由上面可知，位置关于时间的导数是速度。 f ′ ′ ( t ) f''(t) f′′(t)为加速度。
可以明显看到，欧拉积分方法是泰勒级数展开的前两项，导数的最大结束是一阶，所以欧拉积分方法是一阶方法，精度只有前两项。而
韦尔莱积分方法使用了前三项，是二阶方法，精度比欧拉积分方法高。通过上面欧拉积分方法可知，泰勒级数展开的前三项相当于使用了平均速度的欧拉积分方法，那韦尔莱积分方法有什么不同呢？韦尔莱积分方法舍弃了速度，通过前两步，推出后一步。
设有 n , n + 1 , n + 2 三步， a n + 1 为前后两步的平均速度除以时间差 a n + 1 = ( x n + 2 − x n + 1 d t − x n + 1 − x n d t ) / d t , 可以算出 x n + 2 = − x n + 2 x n + 1 + a n + 1 d t 2 设有n,n+1,n+2三步，a_{n+1}为前后两步的平均速度除以时间差 \\ a_{n+1}=(\frac{x_{n+2}-x_{n+1}}{dt}-\frac{x_{n+1}-x_n}{dt})/dt,可以算出 \\ x_{n+2}=-x_n+2x_{n+1}+a_{n+1}dt^2 设有n,n+1,n+2三步，an+1为前后两步的平均速度除以时间差an+1=(dtxn+2−xn+1−dtxn+1−xn)/dt,可以算出xn+2=−xn+2xn+1+an+1dt2