非线性动力学笔记C3.4叉型分岔

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前言

提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：

参考书《Nonlinear dynamics and chaos》 Steven H. Strogatz
本节重点Note第三章3.4叉型分岔内容，图片来自于该书

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C3 bifurcation

3.3 叉型分岔(pitchfork bifurcation)

叉型分岔主要针对含有对称性的问题

1.超临界叉型分岔

标准型为：

$$\dot{x}=rx-x^3$$
该方程是关于$x$对称的，也就是说我们将$x$换成$-x$后方程不变，因此方程是关于原点对称的.
根据标准型方程，我们可以画出$\dot{x}$随$x$变化的相图如下

其中$r<0$，我们可以得到一个稳定的不动点$x^{\ast }=0$,当和$r=0$时我们仍能得到一个较稳定的不动点，但是趋向不动点速度（decay）更慢，当$r>0$时，我们可以得到三个不动点，此时$x^{\ast }=0$这个不动点变得不稳定，而$x^{\ast }=\sqrt{r},x^{\ast }=-\sqrt{r}$是稳定的不动点。
由此我们可以得到如下分岔图：

例3.4.1

控制方程为 $\dot{x}=-x+\beta tanhx$，其中参数为$\beta$
(这是一个统计力学关于磁性和神经网络的模型)

分析如下
我们可以参考之前画图的解决方法，画出$y=x$和$y=\beta tanh(x)$的曲线
随着$\beta$增加曲线会变得陡峭，当两个曲线相切时会发生超临界叉型分岔，我们可以用数值方法求解得到它的临界值. 接着我们可以画出分岔图如下

例3.4.2

这个例子我们在2.7势使用过；
控制方程为 $\dot{x}=rx-x^3$

我们可以得到它的势函数为
$V(x)=-\frac{1}{2}r{x}^2+\frac{1}{4}{x}^4$,对于不同的$r$我们可以画出势函数的图如下

由此我们可以发现当$r<0$或$r=0$时只有一个稳定的不动点，而当$r>0$时有一个不稳定的不动点和两个稳定的不动点，这是一个超临界叉型分岔.

2.次临界叉型分岔

在我们之前的例子中，超临界叉型分岔的标准型为$\dot{x}=rx-x^3$其中三次项可以看作稳定项. 这可以看作恢复力来把$x(t)$拖回到$x=0$的位置. 如果现在我们把三次项该为一个是一个破坏稳定的项，也就是说：
$$\dot{x}=rx+x^3$$
那么我们把它作为次临界分岔的标准型. 那么次临界分岔的分岔图如下：

此时两个非零不动点$x^{\ast }=\pm \sqrt{r}$是不稳定的，并且只在$r<0$存在. 而三次项会将轨迹拉项无穷远处，也叫爆炸(blow up)
而在现实的物理系统中，这种爆炸式的不稳定往往会被隐含的更高阶项稳定
例如
$$\dot{x}=rx+x^3-x^5$$
我们可以得到如下分岔图：

当$r\in (r_s,0)$时，我们可以定性地看到有两个不同的稳定状态出现，也就是$r_s$处产生了鞍点分岔(saddle point bifurcation),而初始状态$x_0$会决定靠近哪一个不稳定的不动点. 同时不动点 $x^{\ast }=0$对小微扰稳定，对大微扰不稳定.
不稳定分支当$x$大于一定值后又会变得稳定，并且这个稳定分支在$r>r_s$时候一直存在.

不同的稳定状态会带来跳跃(jump)或滞后现象（hysteresis). 我们以下图为例，把这个过程拆分成四个步骤：

(1): 我们从$x^{\ast }=0$开始，缓慢增加$r$,当$r$达到0时，$x$会失去稳定性
(2): 此时状态会有一个不稳定的不动点跳跃至一个大分支(branch)上.
(3): 进一步增加$r$,会沿着分支运动
(4):如果降低$r$,也会沿着分支运动，但是会保留在这个分支上；只有当$r<r_s$时，才能使状态发生改变跃入另一个稳定的状态（hysteresis）