必会知识点（持续更新中......）

普半径

某矩阵的谱半径定义为该矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。

eg：

已知某矩阵的特征值为2，-9，则相应的谱半径为（ C ）
A、2          B、-2         C、9       D、-9

解析：特征值的绝对值分别为：

2的绝对值是 2
-9 的绝对值是 9

因此，这些特征值的绝对值中最大的一个是 9。

所以，相应的谱半径为 9。

答案是 C。

相对误差

相对误差的传播

假设$X$的相对误差为${ϵ}_X$,则$X^n$的相对误差${ϵ}_{X^n}$可以通过相对误差传播公式来计
算。对于乘法和指数运算，相对误差传播公式如下：
$${ϵ}_{X^n}=n\cdot {ϵ}_X$$
这意味着，如果我们将$X$提升到$n$次方，那么其相对误差会放大$n$倍。

eg：

设X的相对误差为5%，则Xⁿ的相对误差为（ D ）。
A、n      B、0.05n    C、nln0.05   D、n0.05

解析：直接根据相对误差的传播知识，Xⁿ的相对误差为n*0.05。

误差传播与微分近似

微分法：使用微分法(线性近似)来估算函数值的变化。例如一个正方形的面积为A，边长为a，则可知函数表达式为$A=a^2$，则微分$dA=2a$ $da$可以来近似面积误差和边长误差之间的关系。

eg：
正方形的边长大约为200cm，为使面积误差不超过2cm²，则边长测量时误差应不超过（ D ）cm。
A、1      B、0.5       C、0.05       D、0.005

解析：设正方形的边长为$a$ ,其面积为$A=a^2$。现在，我们假设边长的测量误差为$\Delta a$
,并希望面积的误差$\Delta A$ 不 超 过 $2{\mathrm{cm}}^2$。

面积$A$是边长$a$的函数$A=a^2$ ,使用微分法可以得到面积误差与边长误差之间的

关系：
$$\Delta A\approx 2a\cdot \Delta a$$
其中：

$\bullet$ $\Delta A$是面积的误差
$\bullet$$a$是边长
$\bullet$ $\Delta a$是边长的误差

已知 $a\approx 200\mathrm{cm}$且 $\Delta A\le 2{\mathrm{cm}}^2$,我们可以将这些值代入误差公式中进行计算：
$$2\approx 2\cdot 200\cdot \Delta a$$
解这个方程得到$\Delta a:$
$$\Delta a\approx \frac{1}{200}=0.005\mathrm{cm}$$

据有效数字位数求近似值

有效数字位数为从第一个不是0的数开始数，其后面有几位就是几位。

eg：
0.003 —> 1位有效数字
0.0030 —> 2位有效数字
1.0030 —> 5位有效数字

设X*=3.1415926535，取5位有效数字，则所得的近似值为（A ）。
A. 3.1416      B.3.1415      C.3.14159      D.不确定

解析：取5位有效数字，所以是到数字5，5后面的数字为9，根据四舍五入，5变成6，所以最后是3.1416。