蓝桥杯备赛笔记（九）动态规划（一）

1.动态规划基础

(1)线性DP

1）什么是DP（动态规划）

DP（动态规划）全称Dynamic Programming，是运筹学的一个分支，是一种将复杂问题分解成很多重叠的子问题，并通过子问题的解得到整个问题的解的算法。

在动态规划中有一些概念：

状态：就是形如dp[i] [j] = val的取值，其中i，j为下标，也是用于描述、确定状态所需的变量，val为状态值。

状态转移：状态与状态之间的转移关系，一般可以表示为一个数学表达式，转移方向决定了迭代或递归方向。

最终状态：也就是题目所求的状态，最后的答案。

2）动态规划的分析步骤

①确定状态，一般为“到第i个为止，xx为j（xx为k）的方案数/最小代价/最大价值”，可以根据数据范围和复杂度来推理。

②确定状态转移方程，即从已知状态得到新状态的方法，并确保按照这个方向一定可以正确地得到最终状态。根据状态转移的方向来决定使用迭代法还是递归法、记忆化。

③确定最终状态并输出。

(2)二维DP

二维DP就是指DP数组的维度为二维的DP（当然有时候可能会三维四维，或者存在一些优化使得它降维成一维），广义的来讲就是有多个维度的DP，即用于描述DP状态的变量不止一个。

(3)最长上升子序列LIS

LIS（最长上升子序列）是一个经典的DP模型。

子序列指的是一个序列中，按照原顺序选出若干个不一定连续的元素所组成的序列。在求解LIS时，一般我们会设dp[i]表示1~i序列中以a[i]结尾的最长上升子序列的长度，状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[i] + 1), if a[i] > a[j]

表示a[i]要插入到不同子序列后面的情况。

(4)最长公共子序列LCS

LCS（Longest Common Subsequence最长公共子序列）是一个经典的DP模型。

LCS问题是给定两个子序列A和B，求它们的最长公共子序列。

在求解LCS时，一般我们会设dp[i] [j]表示A[1 ~ i]序列和B[1 ~ j]序列中（不规定结尾）的最长公共子序列的长度，状态转移方程为：

if a[i] = b[j] : dp[i] [j] = dp[i -1] [j - 1] + 1

else dp[i] [j] = max(dp[i - 1] [j], dp[i] [j - 1])

当a[i] = b[j]时，可以将他们作为插入到LCS的后面，使得长度变长1，当a[i] != b[j]时，说明此时LCS不会延长，那就要从dp[i - 1] [j]和dp[i] [j - 1]中取大的作为最长的长度。