119 杨辉三角 II

题目：

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给定一个非负索引 k，其中 k ≤ 33，返回杨辉三角的第 k 行。

在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和

示例:

输入: 3
输出: [1,3,3,1]

进阶：

你可以优化你的算法到 O(k) 空间复杂度吗？

解题思路：

题目中的返回要求是某一行的所有数据
第一个思路是把每一行的数据都求出来，直到要求的行为止
这样就太过于繁琐，效率相当的低
第二个思路是通过递归求每一位上的数，同时达到了进阶要求的O(k)的空间复杂度
最后一个思路是通过数学方法来解决问题，得出每一个数据的表达式，也能到O(k)的空间复杂度，目前看来，不论是从代码精简程度和便于理解方面，以及时空效率方面，都是最好的。

下面我们根据这个思路来实现以下，
首先关键在于规律的推算，其实也是众所周知的，杨辉三角的第n行都是二项式定理(a+b)ⁿ的展开式的系数，可以很容易的得到每个元素为C(n,i)=n!/(i!*(n-i)!)
直接根据这个公式计算还是略显麻烦的，这里我们可以根据每一行的第一个数据为1，一次推算下一个数据，每行第i+1个数字是第i项的[(n-i)/(i+1)]倍

class Solution {
public:
    vector getRow(int rowIndex) {
        //从原理入手，杨辉三角的每一行都是一个二项式定理对应的展开系数
        //对应的每个元素为C(n,i)=n!/(i!*(n-i)!)
        //可以得到每行第i+1个数字是第i项的[(n-i)/(i+1)]倍
        
        //首先创建一个容器用于返回
        vector ListN;
        
        //先初始化第一个数字为1，这也是我们计算的起点
        long tmp = 1;
        
        //根据给定的行数进行循环
        for(int i=0;i<=rowIndex;i++){
            ListN.push_back(tmp);
            tmp = tmp *  (rowIndex-i)/(i+1);
        }
        return ListN;
    }
};

这段代码中有一个需要注意的点，tmp的类型是long而不是int，问题在如果tmp类型若为int，在计算中会出现数据超出了int的表示范围，最终数据仍旧是int类型所能表示的，所以容器的定义依旧是int类型

执行用时 : 4 ms, 在Pascal's Triangle II的C++提交中击败了96.48% 的用户
内存消耗 : 8.5 MB, 在Pascal's Triangle II的C++提交中击败了41.28% 的用户

有些出乎意料，内存消耗比较大，问题可能出在tmp上，但又因为上面讲到的问题，tmp目前来看是必不可少的，如果有有效提升空间复杂度的方法，敬请指教

最后，感谢阅读 |ू･ω･` )