代码随想录算法训练营第三十一天 |基础知识,455.分发饼干,376.摆动序列,53.最大子序和(已补充)

基础知识:

题目分类大纲如下:

代码随想录算法训练营第三十一天 |基础知识,455.分发饼干,376.摆动序列,53.最大子序和(已补充)_第1张图片

#算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课(opens new window)贪心算法理论基础!(opens new window),相信结合视频再看本篇题解,更有助于大家对本题的理解

#什么是贪心

贪心的本质是选择每一阶段的局部最优,从而达到全局最优

这么说有点抽象,来举一个例子:

例如,有一堆钞票,你可以拿走十张,如果想达到最大的金额,你要怎么拿?

指定每次拿最大的,最终结果就是拿走最大数额的钱。

每次拿最大的就是局部最优,最后拿走最大数额的钱就是推出全局最优。

再举一个例子如果是 有一堆盒子,你有一个背包体积为n,如何把背包尽可能装满,如果还每次选最大的盒子,就不行了。这时候就需要动态规划。动态规划的问题在下一个系列会详细讲解。

#贪心的套路(什么时候用贪心)

很多同学做贪心的题目的时候,想不出来是贪心,想知道有没有什么套路可以一看就看出来是贪心。

说实话贪心算法并没有固定的套路

所以唯一的难点就是如何通过局部最优,推出整体最优。

那么如何能看出局部最优是否能推出整体最优呢?有没有什么固定策略或者套路呢?

不好意思,也没有! 靠自己手动模拟,如果模拟可行,就可以试一试贪心策略,如果不可行,可能需要动态规划。

有同学问了如何验证可不可以用贪心算法呢?

最好用的策略就是举反例,如果想不到反例,那么就试一试贪心吧

可有有同学认为手动模拟,举例子得出的结论不靠谱,想要严格的数学证明。

一般数学证明有如下两种方法:

  • 数学归纳法
  • 反证法

看教课书上讲解贪心可以是一堆公式,估计大家连看都不想看,所以数学证明就不在我要讲解的范围内了,大家感兴趣可以自行查找资料。

面试中基本不会让面试者现场证明贪心的合理性,代码写出来跑过测试用例即可,或者自己能自圆其说理由就行了

举一个不太恰当的例子:我要用一下1+1 = 2,但我要先证明1+1 为什么等于2。严谨是严谨了,但没必要。

虽然这个例子很极端,但可以表达这么个意思:刷题或者面试的时候,手动模拟一下感觉可以局部最优推出整体最优,而且想不到反例,那么就试一试贪心

例如刚刚举的拿钞票的例子,就是模拟一下每次拿做大的,最后就能拿到最多的钱,这还要数学证明的话,其实就不在算法面试的范围内了,可以看看专业的数学书籍!

所以这也是为什么很多同学通过(accept)了贪心的题目,但都不知道自己用了贪心算法,因为贪心有时候就是常识性的推导,所以会认为本应该就这么做!

那么刷题的时候什么时候真的需要数学推导呢?

例如这道题目:链表:环找到了,那入口呢?(opens new window),这道题不用数学推导一下,就找不出环的起始位置,想试一下就不知道怎么试,这种题目确实需要数学简单推导一下。

#贪心一般解题步骤

贪心算法一般分为如下四步:

  • 将问题分解为若干个子问题
  • 找出适合的贪心策略
  • 求解每一个子问题的最优解
  • 将局部最优解堆叠成全局最优解

这个四步其实过于理论化了,我们平时在做贪心类的题目 很难去按照这四步去思考,真是有点“鸡肋”。

做题的时候,只要想清楚 局部最优 是什么,如果推导出全局最优,其实就够了。

#总结

本篇给出了什么是贪心以及大家关心的贪心算法固定套路。

不好意思了,贪心没有套路,说白了就是常识性推导加上举反例

最后给出贪心的一般解题步骤,大家可以发现这个解题步骤也是比较抽象的,不像是二叉树,回溯算法,给出了那么具体的解题套路和模板。

455.分发饼干(已观看)

1、题目链接:力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

2、文章讲解:代码随想录

3、题目:

假设你是一位很棒的家长,想要给你的孩子们一些小饼干。但是,每个孩子最多只能给一块饼干。

对每个孩子 i,都有一个胃口值 g[i],这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸;并且每块饼干 j,都有一个尺寸 s[j] 。如果 s[j] >= g[i],我们可以将这个饼干 j 分配给孩子 i ,这个孩子会得到满足。你的目标是尽可能满足越多数量的孩子,并输出这个最大数值。

示例 1:

  • 输入: g = [1,2,3], s = [1,1]
  • 输出: 1 解释:你有三个孩子和两块小饼干,3 个孩子的胃口值分别是:1,2,3。虽然你有两块小饼干,由于他们的尺寸都是 1,你只能让胃口值是 1 的孩子满足。所以你应该输出 1。

示例 2:

  • 输入: g = [1,2], s = [1,2,3]
  • 输出: 2
  • 解释:你有两个孩子和三块小饼干,2 个孩子的胃口值分别是 1,2。你拥有的饼干数量和尺寸都足以让所有孩子满足。所以你应该输出 2.

提示:

  • 1 <= g.length <= 3 * 10^4
  • 0 <= s.length <= 3 * 10^4
  • 1 <= g[i], s[j] <= 2^31 - 1

4、视频讲解:

贪心算法,你想先喂哪个小孩?| LeetCode:455.分发饼干_哔哩哔哩_bilibili

5、思路:

为了满足更多的小孩,就不要造成饼干尺寸的浪费。

大尺寸的饼干既可以满足胃口大的孩子也可以满足胃口小的孩子,那么就应该优先满足胃口大的。

这里的局部最优就是大饼干喂给胃口大的,充分利用饼干尺寸喂饱一个,全局最优就是喂饱尽可能多的小孩

可以尝试使用贪心策略,先将饼干数组和小孩数组排序。

然后从后向前遍历小孩数组,用大饼干优先满足胃口大的,并统计满足小孩数量。

如图:

代码随想录算法训练营第三十一天 |基础知识,455.分发饼干,376.摆动序列,53.最大子序和(已补充)_第2张图片

这个例子可以看出饼干 9 只有喂给胃口为 7 的小孩,这样才是整体最优解,并想不出反例,那么就可以撸代码了。

  • 时间复杂度:O(nlogn)
  • 空间复杂度:O(1)

从代码中可以看出我用了一个 index 来控制饼干数组的遍历,遍历饼干并没有再起一个 for 循环,而是采用自减的方式,这也是常用的技巧。

有的同学看到要遍历两个数组,就想到用两个 for 循环,那样逻辑其实就复杂了。

class Solution {
    // 优先考虑饼干,小饼干先喂饱小胃口
    public int findContentChildren(int[] g, int[] s) {
        Arrays.sort(g);
        Arrays.sort(s);
        int start = 0;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < s.length && start < g.length; i++) {
            if (s[i] >= g[start]) {
                count++;
                start++;
            }
        }
        return count;
    }
}
class Solution {
    // 优先考虑胃口,先喂饱大胃口
    public int findContentChildren(int[] g, int[] s) {
        Arrays.sort(g);
        Arrays.sort(s);
        int start = s.length - 1;
        int count = 0;
        for (int index = g.length - 1; index >= 0; index--) {
            if (start >= 0 && s[start] >= g[index]) {
                count++;
                start--;
            }
        }
        return count;
    }
}

376.摆动序列

1、题目链接:力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

2、文章讲解:代码随想录

3、题目:

如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替,则数字序列称为摆动序列。第一个差(如果存在的话)可能是正数或负数。少于两个元素的序列也是摆动序列。

例如, [1,7,4,9,2,5] 是一个摆动序列,因为差值 (6,-3,5,-7,3) 是正负交替出现的。相反, [1,4,7,2,5] 和 [1,7,4,5,5] 不是摆动序列,第一个序列是因为它的前两个差值都是正数,第二个序列是因为它的最后一个差值为零。

给定一个整数序列,返回作为摆动序列的最长子序列的长度。 通过从原始序列中删除一些(也可以不删除)元素来获得子序列,剩下的元素保持其原始顺序。

示例 1:

  • 输入: [1,7,4,9,2,5]
  • 输出: 6
  • 解释: 整个序列均为摆动序列。

示例 2:

  • 输入: [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]
  • 输出: 7
  • 解释: 这个序列包含几个长度为 7 摆动序列,其中一个可为[1,17,10,13,10,16,8]。

示例 3:

  • 输入: [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
  • 输出: 2

4、视频链接:

贪心算法,寻找摆动有细节!| LeetCode:376.摆动序列_哔哩哔哩_bilibili

class Solution {
    public int wiggleMaxLength(int[] nums) {
        if (nums.length <= 1) {
            return nums.length;
        }
        // 当前差值
        int curDiff = 0;
        // 上一个差值
        int preDiff = 0;
        // 峰值和谷值的个数
        int count = 1;
        // 遍历数组,从1开始,因为count初始化为1
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            // 计算差值
            curDiff = nums[i] - nums[i - 1];
            // 如果当前差值和上一个差值为一正一负
            // 等于0的情况表示这个数和前一个数相等,不影响结果
            if ((curDiff > 0 && preDiff <= 0) || (curDiff < 0 && preDiff >= 0)) {
                count++;
                preDiff = curDiff;
            }
        }
        return count;
    }
}

53.最大子序和

1、题目链接:力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

2、文章讲解:代码随想录

3、题目:

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

  • 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
  • 输出: 6
  • 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

4、视频链接:

贪心算法的巧妙需要慢慢体会!LeetCode:53. 最大子序和_哔哩哔哩_bilibili

5、思路:

暴力解法

暴力解法的思路,第一层 for 就是设置起始位置,第二层 for 循环遍历数组寻找最大值

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int result = INT32_MIN;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 设置起始位置
            count = 0;
            for (int j = i; j < nums.size(); j++) { // 每次从起始位置i开始遍历寻找最大值
                count += nums[j];
                result = count > result ? count : result;
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(1)

以上暴力的解法 C++勉强可以过,其他语言就不确定了。

#贪心解法

贪心贪的是哪里呢?

如果 -2 1 在一起,计算起点的时候,一定是从 1 开始计算,因为负数只会拉低总和,这就是贪心贪的地方!

局部最优:当前“连续和”为负数的时候立刻放弃,从下一个元素重新计算“连续和”,因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优:选取最大“连续和”

局部最优的情况下,并记录最大的“连续和”,可以推出全局最优

从代码角度上来讲:遍历 nums,从头开始用 count 累积,如果 count 一旦加上 nums[i]变为负数,那么就应该从 nums[i+1]开始从 0 累积 count 了,因为已经变为负数的 count,只会拖累总和。

这相当于是暴力解法中的不断调整最大子序和区间的起始位置

那有同学问了,区间终止位置不用调整么? 如何才能得到最大“连续和”呢?

区间的终止位置,其实就是如果 count 取到最大值了,及时记录下来了。例如如下代码:

if (count > result) result = count;

1

这样相当于是用 result 记录最大子序和区间和(变相的算是调整了终止位置)

如动画所示:

红色的起始位置就是贪心每次取 count 为正数的时候,开始一个区间的统计。

那么不难写出如下 C++代码(关键地方已经注释)

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int result = INT32_MIN;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            count += nums[i];
            if (count > result) { // 取区间累计的最大值(相当于不断确定最大子序终止位置)
                result = count;
            }
            if (count <= 0) count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置,因为遇到负数一定是拉低总和
        }
        return result;
    }
};

  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

当然题目没有说如果数组为空,应该返回什么,所以数组为空的话返回啥都可以了。

常见误区

误区一:

不少同学认为 如果输入用例都是-1,或者 都是负数,这个贪心算法跑出来的结果是 0, 这是又一次证明脑洞模拟不靠谱的经典案例,建议大家把代码运行一下试一试,就知道了,也会理解 为什么 result 要初始化为最小负数了。

误区二:

大家在使用贪心算法求解本题,经常陷入的误区,就是分不清,是遇到 负数就选择起始位置,还是连续和为负选择起始位置。

在动画演示用,大家可以发现, 4,遇到 -1 的时候,我们依然累加了,为什么呢?

因为和为 3,只要连续和还是正数就会 对后面的元素 起到增大总和的作用。 所以只要连续和为正数我们就保留。

这里也会有录友疑惑,那 4 + -1 之后 不就变小了吗? 会不会错过 4 成为最大连续和的可能性?

其实并不会,因为还有一个变量 result 一直在更新 最大的连续和,只要有更大的连续和出现,result 就更新了,那么 result 已经把 4 更新了,后面 连续和变成 3,也不会对最后结果有影响。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) {
            return nums[0];
        }
        int sum = Integer.MIN_VALUE;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            count += nums[i];
            // 取区间累计的最大值
            sum = Math.max(count, sum);
            // 剪枝,如果当前累加和已经小于0,那么后面无论再怎么加,结果都不会比当前sum大了
            if (count < 0) {
                count = 0;
            }
        }
        return sum;
    }
}

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