【图论经典题目讲解】CF786B - Legacy 一道线段树优化建图的经典题目

$CF786B-\mathrm{Legacy}$

$\mathrm{Description}$

给定 $1$ 张 $n$ 个点的有向图，初始没有边，接下来有 $q$ 次操作，形式如下：

• 1 u v w 表示从 $u$ 向 $v$ 连接 $1$ 条长度为 $w$ 的有向边
• 2 u l r w 表示从 $u$ 向 $i$（$i\in [l,r]$）连接 $1$ 条长度为 $w$ 的有向边
• 3 u l r w 表示从 $i$（$i\in [l,r]$）向 $u$ 连接 $1$ 条长度为 $w$ 的有向边

输出从 $S$ 点到 $i$ 点（$i\in [1,n]$）的最短路长度。

$\mathrm{Solution}$

观察可知，最多会建立 $10^5\times 10^5=10^{10}$ 条边，故必定超时。

此时，需要使用 线段树优化建图，这里展开简单说一下：

对于 $1$ 棵存储点为 $1\sim 4$ 的线段树，形式如下：

如果当前为 $2$ 操作，且为 $1\sim 3$ 每个点连向 $4$，权值为 $10$，操作如下所示：

即，将区间 $1\sim 2$ 和 $3\sim 3$ 连向 $4$ 即可，不过此时发现，图中为有向图，而现在是无向图所以我们要对于图中的每一条边标记方向和权值（这里线段树就是一张图，叶子节点就是我们的 $1\sim n$ 节点）

其中，为何线段树上的边方向都为向父亲节点？那是因为 $1$，$2$ 号点只有这样才能顺着边走到 $4$ 号节点，对于为何权值设为 $0$，因为这是 $1$ 条虚边（不存在的），不能对最短路做出任何贡献。

不过，上文是区间连节点，当是节点连区间的时候（操作 $3$）边都是正好反着的，所以再建 $1$ 棵线段树即可（不过没必要真的去再建 $1$ 棵，具体见代码）

$Code$

#include 
#define int long long

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;

const int SIZE = 4e6 + 10, SIZE2 = 1e6 + 10;

int N, Q, S;
int h[SIZE2], e[SIZE], ne[SIZE], w[SIZE], idx;
int Id[2], Dist[SIZE2], Vis[SIZE2];
struct Segment
{
	int l, r;
	int L, R;
}Tree[SIZE2 << 2];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++;
}

int Build(int l, int r, int Sd, int k)
{
	if (l == r)
	{
		Tree[l] = {l, l};
		return l;
	}
	int P = ++ Id[k];
	Tree[P] = {l, r};

	int mid = l + r >> 1;
	Tree[P].L = Build(l, mid, Sd, k), Tree[P].R = Build(mid + 1, r, Sd, k);

	if (!Sd) add(Tree[P].L, P, 0), add(Tree[P].R, P, 0);
	else add(P, Tree[P].L, 0), add(P, Tree[P].R, 0);

	return P;
}

void Add(int u, int l, int r, int p, int w, int Sd)
{
	if (Tree[u].l >= l && Tree[u].r <= r)
	{
		if (!Sd) add(u, p, w);
		else add(p, u, w);
		return;
	}

	int mid = Tree[u].l + Tree[u].r >> 1;
	if (mid >= l) Add(Tree[u].L, l, r, p, w, Sd);
	if (mid < r) Add(Tree[u].R, l, r, p, w, Sd);
}

void Dijkstra(int S)
{
	memset(Dist, 0x3f, sizeof Dist);
	memset(Vis, 0, sizeof Vis);
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> Heap;
	Heap.push({0, S}), Dist[S] = 0;

	while (Heap.size())
	{
		auto Tmp = Heap.top();
		Heap.pop();

		int u = Tmp.second;
		if (Vis[u]) continue;
		Vis[u] = 1;

		for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (Dist[j] > Dist[u] + w[i])
			{
				Dist[j] = Dist[u] + w[i];
				Heap.push({Dist[j], j});
			}
		}
	}
}

signed main()
{
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);

	memset(h, -1, sizeof h);

	cin >> N >> Q >> S;

	if (N == 1)
	{
		cout << 0 << endl;
		return 0;
	}

	Id[0] = N;
	Build(1, N, 0, 0);
	Id[1] = Id[0];
	Build(1, N, 1, 1);

	while (Q --)
	{
		int Op, v, u, l, r, w;
		cin >> Op >> u;

		if (Op == 1)
		{
			cin >> v >> w;
			add(u, v, w);
		}
		else if (Op == 2)
		{
			cin >> l >> r >> w;
			Add(Id[0] + 1, l, r, u, w, 1);
		}
		else
		{
			cin >> l >> r >> w;
			Add(N + 1, l, r, u, w, 0);
		}
	}

	Dijkstra(S);

	for (int i = 1; i <= N; i ++)
		if (Dist[i] >= 1e18) cout << -1 << " ";
		else cout << Dist[i] << " ";

	return 0;
}