高中奥数 2021-11-18

2021-11-18-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P004 例1）

已知复数,,且,试求实数的值.

分析与解

由知,、均为实数,即有,

解得.

因为,所以,即.而适合.故所求.

注解题的突破口在于发现“、均为实数”这一隐含条件.

2021-11-18-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P004 例2）

已知是纯虚数,求复数在复平面内对应点轨迹的方程.

分析与解

设,则

因为为是纯虚数,所以,即复数在复平面内对应点的轨迹是圆(除去两点),轨迹方程是.

注初学复数的读者要千万留心:纯虚数不仅是实部等于0,还要求虚部不等于0.

2021-11-18-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P005 例3）

已知非零复数、、满,试求的一切可能值.

分析与解

设,则,,,也就有,,.因为,所以有,解得或.

所以.

若,则原式;

若,则原式;

若,则原式.

综上所述,的一切可能值为1、和.

注连等式设是常用的解题技巧.

2021-11-18-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 复数的概念及代数运算 P005 例4）

已知 ,关于的一元二次方程有实根,求使复数的模取得最小值的复数.

分析与解

设出复数的代数形式,利用方程的实根将实部,虚部分离.

设已知方程的实根为,并记,则有,

即

.

于是,有

,(1)

.(2)

因为时,方程(2)无解,所以.

由(2)有,代入(1)式,得,解得

.(3)

于是.

当且仅当,也即时,上式中的等号成立.

此时,对应的.

由(3)式可知、同号,从而所求的复数.