python伯努利多项式

伯努利数是一种在数学、物理和工程中广泛应用的特殊数列，以瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）的名字命名，并在许多领域中发挥重要作用。在数学中，它们与斐波那契数列、卡塔兰数、贝尔数等数列有密切联系，可以用于解决循环问题、组合问题和递推关系等数学问题。

伯努利数和多项式

伯努利(Bernoulli)数是一组在数论和复分析中出现的数，与伯努利多项式有关。伯努利多项式通常由以下递推关系定义

$$B_{n+1}(x)=x{B}_n(x)+B_{n-1}(x)$$

其中$B_0(x)=1,B_1(x)=x+1$。这个多项式的系数$B_n$就是伯努利数。例如，$B_2(x)=x^2+x+1$，所以$B_2=3$。其递推公式如下

$$B_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)B_k{x}^{n-k}$$

当$x=1$时，伯努利多项式的值便是伯努利数，

$$B_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)B_k$$

亦可记作

$$n+1=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right)B_k$$

当$n$是奇数且大于$1$时，$B_n=0$。

sympy实现

sympy提供了bernoulli函数用以返回伯努利数和伯努利多项式

from sympy import bernoulli
from sympy.abc import x
[bernoulli(n) for n in range(11)]
# [1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66]
bernoulli(1000001)
# 0

若输入一个数值和一个符号，即可表示伯努利多项式

from sympy import print_latex
print_latex(bernoulli(3, x))

$$x^3-\frac{3x^2}{2}+\frac{x}{2}$$