可达鸭二月月赛——基础赛第六场（周五）题解，这次四个题的题解都在这一篇文章内，满满干货，含有位运算的详细用法介绍。

姓名

• 王胤皓

T1 题解

T1 题面

T1 思路

样例输入就是骗人的，其实直接输出就可以了，输出 Hello 2024，注意，中间有一个空格！

T1 代码

#include
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
	cout<<"Hello 2024";
	return 0;
}

T2 题解

T2题面

T2 思路

计算 $2^x$ 次方，可以使用 C++ 中自带的位运算。

接下来将详细介绍位运算：
位运算是计算机中一种常用的运算方式，它直接对二进制数据进行操作。C++语言提供了多种位运算操作符与函数，可以方便地进行位运算。

一、位运算的基础概念

1. 二进制表示：在计算机中，所有的数据都是以二进制形式表示的。一个二进制位可以表示0或1，多个二进制位可以表示更大的数值。
2. 位运算操作符：C++提供了多种位运算操作符，包括与（&）、或（|）、异或（^）、取反（~）等。
3. 位运算函数：C++提供了一些位运算函数，包括位移函数（<<、>>）、位计数函数（__builtin_popcount）、最低位函数（__builtin_ffs）等。

二、位运算操作符

1. 与运算（&）：对两个数的二进制位进行逐位比较，若两个位均为1，则结果为1；否则为0。例如，3 & 5的结果是1。
2. 或运算（|）：对两个数的二进制位进行逐位比较，若两个位中至少有一个为1，则结果为1；否则为0。例如，3 | 5的结果是7。
3. 异或运算（^）：对两个数的二进制位进行逐位比较，若两个位不相同，则结果为1；否则为0。例如，3 ^ 5的结果是6。
4. 取反运算（_{）：对一个数的二进制位进行逐位取反，即0变为1，1变为0。例如，}3的结果是-4（以补码形式表示）。
5. 左移运算（<<）：将一个数的二进制位向左移动指定的位数，相当于乘以2的指定次幂。例如，3 << 2的结果是12。
6. 右移运算（>>）：将一个数的二进制位向右移动指定的位数，相当于除以2的指定次幂。例如，8 >> 2的结果是2。

三、位运算的应用

1. 位运算与（&）常用于掩码操作、判断奇偶性等。例如，可以用掩码操作实现只保留某些位。
2. 位运算或（|）常用于设置某些位为1。例如，可以用位运算将某些位设置为1，而保持其他位不变。
3. 位运算异或（^）常用于交换两个数的值、判断两个数的符号是否相同等。
4. 位运算取反（~）常用于将整数取反。
5. 位运算左移（<<）和右移（>>）常用于对整数进行乘法或除法的优化。例如，一个数左移一位相当于乘以2，右移一位相当于除以2。

四、位运算的特点

1. 位运算是直接对二进制数据进行操作，因此速度较快。
2. 位运算在一些特定场景下可以实现高效的算法，如位图算法、哈希表实现等。
3. 位运算可以用于优化算法性能，减少空间占用。

五、注意事项

1. 在使用位运算时，需要注意位运算的优先级与结合性，可以使用括号来明确运算顺序。

总结：位运算是C++中一种常用的运算方式，可用于对二进制数据进行操作。C++提供了多种位运算操作符和函数，方便进行位运算。位运算具有速度快、可以实现高效算法、可以优化性能的特点。在使用位运算时，需要注意操作符优先级和结合性。

所以直接输出 $2^n$ 也就是 $1<<n$。

（我绝不会告诉你有人还用快速幂、pow和for循环）

T2 代码

#include
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
    int n;
    cin>>n;
	cout<<(1<<n);
	return 0;
}

T3 题解

T3 题面

T3 $O(n)$ 思路

暴力枚举。

遍历 $l$ 到 $r$，然后如果 $i$ 为奇数，那么计数器加上 $i$，最后进行输出即可。

T3 $O(n)$ 代码

#include
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
    int l,r;
    cin>>l>>r;
    int sum=0;
    for(int i=l;i<=r; i++){
        if(i&1) sum+=i;
    }
    cout<<sum;
	return 0;
}

T3 O(1) 思路

前置知识（干货）：因为 $1+3+5+7+9=\lfloor \frac{9+1}{2}{\rfloor }^2$，从而得出 $1+3+5+\cdots +n(n\mathrm{mod}2=1)=\lfloor \frac{n+1}{2}{\rfloor }^2$。

接下来进行分类讨论：

• 如果 $l$ 和 $r$ 都是奇数，那么根据约分性质 $(a+b+c+d)-(a+b)=c+d$，就能得出 $1+3+5+\cdots +r$ 和 $1+3+5+\cdots +(l-2)$，得出答案是 $1+3+5+\cdots +r-(1+3+5+\cdots +(l-2))$，简化后为 ${\frac{r+1}{2}}^2-{\frac{l-2+1}{2}}^2$。
  Q：为什么 $l$ 要减 $2$?
  A：如果不减的话，那么就会少算一个 $l$。
• 如果 $l$ 是奇数，$r$ 是偶数，那么要把 $r$ 减 $1$，然后就可以和 $l$ 和 $r$ 都是奇数的计算就是一样的了，就能得出 $1+3+5+\cdots +r$ 和 $1+3+5+\cdots +(l-2)$，得出答案是 $1+3+5+\cdots +r-(1+3+5+\cdots +(l-2))$，简化后为 ${\frac{r+1}{2}}^2-{\frac{l-2+1}{2}}^2$。
  Q：为什么 $l$ 要减 $2$?
  A：如果不减的话，那么就会少算一个 $l$。
• 如果 $l$ 是偶数， $r$ 都是奇数，把 $l+1$ ，然后就可以和 $l$ 和 $r$ 都是奇数的计算就是一样的了，那么根据约分性质 $(a+b+c+d)-(a+b)=c+d$，就能得出 $1+3+5+\cdots +r$ 和 $1+3+5+\cdots +(l-2)$，得出答案是 $1+3+5+\cdots +r-(1+3+5+\cdots +(l-2))$，简化后为 ${\frac{r+1}{2}}^2-{\frac{l-2+1}{2}}^2$。
  Q：为什么 $l$ 要减 $2$?
  A：如果不减的话，那么就会少算一个 $l$。
• 如果 $l$ 和 $r$ 都是偶数，那么结合第二项和第三项，在进行第一项的操作就可以了，就是 $l+1,r-1$，那么根据约分性质 $(a+b+c+d)-(a+b)=c+d$，就能得出 $1+3+5+\cdots +r$ 和 $1+3+5+\cdots +(l-2)$，得出答案是 $1+3+5+\cdots +r-(1+3+5+\cdots +(l-2))$，简化后为 ${\frac{r+1}{2}}^2-{\frac{l-2+1}{2}}^2$。
  Q：为什么 $l$ 要减 $2$?
  A：如果不减的话，那么就会少算一个 $l$。

T3 O(1) 代码

#include
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	if(r&1==0) r--;
	l--;
	if(l&1==0) l--;
	cout<<(((r+1)/2)*((r+1)/2)-((l+1)/2)*((l+1)/2))<<endl;
	return 0;
}

T4 题解

T4 题面

T4 思路

遍历字符串，如果 $s_i$ 和 $s_{i+1}$ 都是 l，那么计数器 $+1$，然后把 $i$ 也加 $1$，防止重复计算。

判断 $s_i={=}^{\prime }{d}^{\prime }$ 并且 $s_{i+1}={=}^{\prime }{r}^{\prime }$ 并且 $s_{i+2}={=}^{\prime }{a}^{\prime }$ 并且 $s_{i+3}={=}^{\prime }{g}^{\prime }$ 并且 $s_{i+4}={=}^{\prime }{o}^{\prime }$ 并且 $s_{i+5}={=}^{\prime }{n}^{\prime }$，可以使用 string 中的 substr 函数简化，函数格式：字符串名字.substr(截取字符串开始下标，截取长度)，直接判断是否为 $dragon$ 就可以了。那么计数器也 $+1$，然后 $i+5$，防止重复计算。

T4 代码

#include
using namespace std;
#define ll long long
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        string s;
        cin>>s;
        int cnt=0;
        for(int i=0; i<s.size()-1; i++){
            if(s[i]=='l'&&s[i+1]=='l'){
                i++;
                cnt+=2;
            }
            if(s.substr(i,6)=="dragon") cnt++,i+=5;
        }
        cout<<cnt<<endl;
    }
	return 0;
}

赛后总结

T1,T2,T3,T4真的都太水了，太简单了，前三题时间复杂度都可以做到 $O(1)$，第四题最坏情况下是 $O(T\times n)$。

贴图：

给个三连，你的三连是给我创作文章的最大的动力！