高中奥数 2021-12-16

2021-12-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P056 例1）

对于给定的角,试讨论方程

是否有模大于2的复数根?

分析与解

答案是否定的.可以考虑从反面入手去解决.

假定存在是原方程的复数解,并且,则有

从而对上式两边取模,并应用模的不等式,得

$\begin{aligned} \left| x_{0}\right|^{n}&\leqslant\left|x_{0}\right|^{n-1}\left|\sin\alpha_{1}\right|+\cdots+\left|x_{0}\right|\left|\sin\alpha_{n-1}\right|+\left|\sin\alpha_{n}\right|\\ &\leqslant\left|x_{0}\right|^{n-1}+\left|x_{0}\right|^{n-2}+\cdots+\left|x_{0}\right|+1\\ &=\dfrac{\left|x_{0}\right|^{n}-1}{\left|x_{0}\right|-1}\\ &<\dfrac{\left|x_{0}\right|^{n}}{\left|x_{0}\right|-1}\\ &<\dfrac{\left|x_{0}\right|^{n}}{2-1}\\ &=\left|x_{0}\right|^{n}. \end{aligned}$

这显然产生矛盾,由此说明原方程没有模大于2的复数根.

2021-12-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P056 例2）

设个复数,满足

(1);

(2).

证明:存在、,使得,且.

分析与解

我们称两个复向量(以原点为起点的复向量)所成的角为它们之间所夹的不超过的部分所构成的几何图形.只需证明:复数中,必有两个复数和,它们之间的夹角不小于.

对此用反证法予以证明,若不存在满足条件的和经过对复平面作复数与量适当的旋转,不妨设对应的向量落在实轴的正半轴上,作射线,,使得

则对应的向量都落在与内,如图所示.

图1

由条件(1),,可知中必有一个复数的实部小于0.从而中必有一个向量落在或内,不妨设落在内.作射线,使得,则对应的向量不能落在内综上所述,可知都落在内,于是,将该复平面适当旋转后,可使向量都落在轴的右方,它们的实部都不小于零,这与(1)矛盾.

所以,在中,存在、,,使得,证毕.

2021-12-16-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的模与幅角（二） P057 例3）

设是十进制表示下的一个质数,这里.证明:在整系数范围内不可约.

分析与解

从的根出发,先证明:或者,这里表示的实部.

事实上,若或,则上述论断已成立.

当,且时,有.于是,有

$\begin{aligned} 0&=\left|\dfrac{f\left(x_0\right)}{x_{0}^n}\right|\\ &\geqslant\left|a_{n}+\dfrac{a_{n-1}}{x_{0}}\right|-\dfrac{a_{n-2}}{\left|x_{0}\right|}-\cdots-\dfrac{a_{0}}{\left|x_{0}\right|^{n}}\\ &\geqslant\Re\left(a_{n}+\dfrac{a_{n-1}}{x_{0}}\right)-\left(\dfrac{9}{\left|x_{0}\right|^{2}}+\cdots+\dfrac{9}{\left|x_{0}\right|^{n}}\right)\\ &\geqslant a_{n}-\dfrac{9}{\left|x_{0}\right|^{2}-\left|x_{0}\right|}\\ &\geqslant 1--\dfrac{9}{\left|x_{0}\right|^{2}-\left|x_{0}\right|}, \end{aligned}$

于是,故.

下面,利用上述论断证明在整系数范围内中不可约.

若存在非常数的整系数多项式和,使得,设.对于而言,一方面,另一方面,对,由于也是的根,如果,则(否则,由的系数均非负,将导数f,故;如果,则也是的根,这时

所以,总有,同理.

但是,为质数,矛盾.

高中奥数 2021-12-16

你可能感兴趣的:(高中奥数 2021-12-16)