2019-02-28-submodular function

"On the Complexity of Optimal Request Routing and Content Caching in Heterogeneous Cache Networks"
University of Massachusetts Amherst

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结合论文来分析

1.论文

• Objective：
  minimize the delay
  where
  delay=delay(hit)+delay(miss)+delay(server)
  x*p*delay(hit)+(1-x)*p*delay(miss)+(1-p)*delay(server)
  其中，作者假设
  delay(hit)
• Variable:
  contentplacement x+ routing p
  这里的routing设置很巧妙：对于routing policy, 作者定义了p(i,j,m)denotes the the fraction of the requests of user i for content j sent to cache m
• s.t.
  0<=p(i,j,m)<=1
  sum x(f,m)<=Capacity(m)
  x(f,m)={0,1}
  
  min delay
  s.t. x={0,1}
  0=
• Optimization
  convex optimization
• Deal with two varibales
  因为两个变量，要知道凸优化是可以直接解决的，这是凸优化的优势。
  文中的处理方式：
  step1：给定x，求p.
  在x给定的情况下，将目标函数delay表示成含有x的fucnction：delay(p;x)。且delay(p;x)为凸函数(单调递减)。问题变成：
  
  min delay(p:x)
  s.t. 0=
  既然，给定x，目标函数为凸，直接求最优p即可(即：delay(p;x) is convex and can be solved in polynomial time)。
  step2:在求得p后，进一步求解x。
  由于x={0,1}，且目标函数为"单调"递减的凸函数。{可由哑膜函数性质倒推，边际效益越来越小+increasing-->原函数为decreasing 的凸函数}
  step3：将目标函数转换为哑膜函数标准。
• 哑膜函数的特征
  主要包含两个因素: matriod + margin function + approximation with guarantee + greedy

2. 哑膜函数

• gaurantee
  The greedy algorithm for maximizing a monotone submodular set function with matroid constraints yield a (1-1/e)-approximation

• matroid
  通常分为几类，但这里只讲论文里常见的。still call matroid，哈哈哈哈哈。。。
  
  

  matroid.png
  
  证明过程中抓住以下几点：
  1). ground set S
  S denote the set of all possible files that could be placed in caches.
  S={S1,S2,...,Sm}，Si denote the set of all possible files that could be placed in cache i.
  2). I 的定义
  I 实际等同于X，即content placement。
  X=X1∪X2∪...∪Xm。Xi denote the set that files stored in cache i.
  其中，
  |Xm| 为方便描述，这里()表示下标。
  基于此，
  论文中的s.t.为matroid on S. 表达为X belong to I.
  
  因此，(S,I) define a matroid.

• function
  给定X，分别考虑f(X∪ef)-f(X)
  f(Y∪ef)-f(Y)
  其中ef 不属于Y

1). monotone

2). increasing
f(Y)-f(X)>=0
3). submodular

1). increasing，2). monotone，3). submodular function.
1). D(server)-delay---->添加负号，目标函数由decreasing转换为increasing；
2). 本来就是

3).

image.png

2. Matroid