数学实验第三版（主编：李继成 赵小艳）课后练习答案（五）（3）（4）

目录

实验五：行列式、矩阵运算及其应用

练习三

练习四

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实验五：行列式、矩阵运算及其应用

练习三

1.已知矩阵

执行下面的程序

w=[1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5;2,1,0,1,2,1,0,1,2];

plot(w(1,:),w(2,:))

axis([0.85.2-0.22.2])

可画出图5.2（字母W）.

按要求完成下面的实验任务：

(1)选取下面不同的变换矩阵A,画出数组w经变换后点的轨迹.

,

；

(2)变换矩阵A4,A5和A6有什么特点？

(3)先计算图5.2中字母W的笔画长度，再任意选取一个二阶正交矩阵作为变换矩阵，计算图5.2中的字母W曲线经变换后的曲线长度，与变换前的长度相比有何变化？

（1）

clc;clear;
w=[1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5;2,1,0,1,2,1,0,1,2];
a1=[0,1;1,0];a2=[1,2;0,1];a3=[1,0;2,1];a4=[1,0;0,0];
a5=[0,0;0,1];a6=[1/2,sqrt(3)/2;-sqrt(3)/2,1/2];
t0=[pi/4;pi/2;pi;3*pi/2];
w1=a1*w;subplot(5,2,1);plot(w1(1,:),w1(2,:));axis equal
w2=a2*w;subplot(5,2,2);plot(w2(1,:),w2(2,:));axis equal
w3=a3*w;subplot(5,2,3);plot(w3(1,:),w3(2,:));axis equal
w4=a4*w;subplot(5,2,4);plot(w4(1,:),w4(2,:));axis equal
w5=a5*w;subplot(5,2,5);plot(w5(1,:),w5(2,:));axis equal
w6=a6*w;subplot(5,2,6);plot(w6(1,:),w6(2,:));axis equal
for i=1:4
    t=t0(i);
    a7=[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)];
    w7=a7*w;
    subplot(5,2,6+i);
    plot(w7(1,:),w7(2,:)); 
    axis equal
end

（2）A4和A5为二维矩阵的单位基，A6为正交矩阵。

（3）图5.2中，字母W的长度为4*sqrt（5），任意一个正交矩阵作为变换矩阵所得到的曲线长度和之前相比均不变。

2. 写出三维空间中一些简单的平移、旋转、伸缩、投影、对称等变换矩阵，任意选取空间一张曲面或者一条曲线，观察施行这几种变换前后的图形变化。

经过资料查询：三维空间中一点记为（x,y,z）’,它经过几何变换往往是乘一个四维矩阵。

（1）平移：（x,y,z）平移后为（x+tx,y+ty,z+tz）;

记为:=;

(2)旋转：（x,y,z）旋转后为（x’，y’,z’）;

绕x轴旋转：

记为：;

绕y轴旋转：

记为：;

绕z轴旋转：

记为：;

(3)伸缩：(x,y,z)伸缩后为（x*sxx*sy,x*sz）

记为：;

（4）投影：

设投影面的两个线性无关的向量为：a和b；则a和b向量组成一个3*2的矩阵A=[a,b];

那么投影矩阵为：P=A*(A’*inv(A))*A’，则'=;

(5)对称：

对称即为旋转90度。

把旋转中的t取π/2即可得到相应的对称矩阵。

至于选取曲面我就不再赘述了，大家可以自行选取曲面或曲线进行一系列变换。

3. 任意选取一个三阶正交矩阵作为变换矩阵，对三维螺旋线

x=2cost,y=2sint,z=0.5t,t [0,8π]

做此变换，画图观察变换后曲线的特征你能否编程计算此螺旋线变换前后的长度是否发生变化？

clc;clear;t=0:0.01:8*pi;
x=2*cos(t);y=2*sin(t);z=0.5*t;
plot3(x,y,z);
a=rand(3);zj=orth(3);
new=zj*[x;y;z];
hold on
plot3(new(1,:),new(2,:),new(3,:));
syms t
x=2*cos(t);y=2*sin(t);z=0.5*t;
y0=sqrt(diff(x,t)^2+diff(y,t)^2+diff(z,t)^2);
length1=int(y0,t,0,8*pi);vpa(length1,5)；
l=zj*[x;y;z];
y1=sqrt(diff(l(1),t)^2+diff(l(2),t)^2+diff(l(3),t)^2);
length2=int(y1,t,0,8*pi);
vpa(length2,5)；

Length1=51.812；

Length2 =51.812；

4. 选取玫瑰线心形线、双纽线等，随意选取一个变换，多次重复实验，观察图形的变化。

clc;clear;
a=rand(2);zj=orth(a);
t=0:0.01:2*pi;
x1=sin(5*t).*cos(t);y1=sin(5*t).*sin(t); %玫瑰线
subplot(1,3,1) plot(x1,y1);
new1=zj*[x1;y1];
hold on
plot(new1(1,:),new1(2,:));
axis equal;
x2=2*(2*cos(t)-cos(2*t));y2=2*(2*sin(t)-sin(2*t));%心形线
subplot(1,3,2);plot(x2,y2);
new2=zj*[x2;y2];
hold on
plot(new2(1,:),new2(2,:));
axis equal;
x3=2*sqrt(cos(2*t)).*cos(t);y3=2*sqrt(cos(2*t)).*sin(t);%双纽线
subplot(1,3,3);plot(x3,y3);
new3=zj*[x3;y3];
hold on
plot(new3(1,:),new3(2,:));
axis equal;

经过正交变换之后，图形均旋转了一定角度，其大小形状均为发生变化。

练习四

1. 图5.3中每一个星号表示一次迭代后的向量点，请分析这些点分布的位置与迭代次数的关系。

略

2. 将程序中的迭代次数n改为不同的较大的自然数，运行程序再观察，能发现什么？

当n值较大时，图像由稀稀落落的点变成了一条曲线。

3. 你如何判断图5.3中的向量点（星号）是否分布在同一张平面上？若在一张平面上，该平面的方程是什么？

是。判断方法为计算混合积，见书上97页。

clc;clear;
x=[0.9218;0.7382;0.1763];
A=[-0.6068,0.4443,-0.6591;-0.4007,-0.8871,-0.2290;-0.6865,0.1251,0.7163];
ax=x;
for k=1:2
  x=A*x;
  ax=[ax,x];
end
syms a b c
m=ones(1,3);
n=solve([a,b,c]*ax==m);
vpa(n.a,5)
vpa(n.b,5)
vpa(n.c,5)

4.随机生成三阶正交矩阵A1,令A2=-A1.任取三维非零向量x0 作为初始迭代向量，分别由

生成两个向量序列 ,在空间中画出这两个向量序列（点列），你能得出什么结论？

clc;clear;
m=rand(3);
A1=orth(m);A2=-A1;
x=rand(3,1);
ax1=x;ax2=x;
for k=1:100
    x=A1*x;
    ax1=[ax1,x];
end
x=ax2;
for k=1:100
    x=A2*x;
    ax2=[ax2,x];
end
figure(1)
plot3(ax1(1,:),ax1(2,:),ax1(3,:),'*');
figure(2)
plot3(ax2(1,:),ax2(2,:),ax2(3,:),'*');

figure（2）的一部分关于原点对称之后就成为了figure（1）。（描述的不是很好，doge）

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