数学实验第三版（主编：李继成 赵小艳）课后练习答案（二）（1）

实验二：MATLAB软件绘图

练习一

1. 在同一坐标系下绘制不同的指数曲线、幂函数曲线与对数曲线，观察这些函数对应曲线的特点。这些曲线分别必过哪些特殊的点？哪些曲线关于直线y=x对称？

x=-1:0.1:1;
y1=exp(x);
y2=exp(-x);
y3=exp(2*x);
figure(1)
plot(x,y1,x,y2,x,y3)
axis on

由以上图形我们可以看出，对于指数函数而言，其必过（0,1）点。

x1=-10:0.01:10;
y4=x1.^2;
y6=x1.^(3);
figure(2)
plot(x1,y4,x1,y6)
hold on 
ezplot('x^-1',[-5,5])
axis on

由上图我们可以看出，对于幂函数而言，其所过的定点为（1,1）；

x2=0:0.1:20;
y7=log10(x2);
y8=log(x2);
figure(3)
plot(x2,y7,x2,y8)

由上图我们可以看出，对数函数过的定点为（1，0）。

2. 分别写出 在x=0处的1次、2次、3次直至10次泰勒多项式，在同一坐标系下绘出这些多项式曲线和曲线 ,观察这些多项式曲线跟曲线 的逼近程度与多项式的次数关系.

此题我们可以借助命令窗口的taylortool功能。在命令窗口中输入taylortool，并按下enter按钮之后，会弹出一个窗口，在这里我们解决这个问题。

我们可以在这个窗口中调试n的大小，从而得到相应最高次数的泰勒展开公式。在这里我以n=1、2做一个示范：

当n等于1时（见下图）：

当n等于2时（见下图）：

那么我们依次就可以求出三次，四次直至十次的泰勒展开多项式。那么我们通过观察图像易得，当次数越高时，其逼近程度就越高。（ps：在图中，红线为泰勒展开式的图像，而蓝线为原函数图像）

3. 对于数列,已知.自己设计程序，观察该数列的收敛性，体验判定数列收敛定义的内涵.

 x=1:100;
y=(1+1./x).^x;
plot(x,y,'.')

4. 已知调和级数

是发散的，即调和级数的部分和数列

                                              

是发散的，绘制该调和级数的部分和数列图形，观察它的发散性，体验数列发散ε-N否定形式的内涵.

clc;
clear;
syms n 
f=1/n;
x=[];
for i=1:500
    h=symsum(f,n,1,i);
    x=[x,h];
    plot(i,h,'.');
    hold on
end
figure(2)
plot(x);

5. 绘制下面的著名曲线：

（1）蔓叶线

以a=1为例：

ezplot('2*sin(t).^2','2*sin(t).^2*tan(t)',[0,2*pi])
axis([0,2,-10,10])

（2）笛卡儿曲线：

仍以a=1为例

ezplot('3*t/(1+t^3)','3*t^2/(1+t^3)',[-10,10]) 
axis([-10,10,-10,10]) 

 

（3）奈尔抛物线：  

不知为何该图像的绘制只有非负数部分，所以就对称了一下。

x=0:0.01:10;
y=x.^(2/3);
plot(x,y)
hold on
plot(-x,y)
axis([-10,10,0,20])

（4）曳物线：

subplot(1,2,1)
ezplot('(log(1+sqrt(1-y^2)))/y-sqrt(1-y^2)-x',[-10,10,-1,1])
subplot(1,2,2)
ezplot('(log(1-sqrt(1-y^2)))/y+sqrt(1-y^2)-x',[-10,10,-1,1]')

6. 取不同的数值a及数值k,分别绘制曲线 和 ,观察两个参数的几何意义 .

subplot(2,2,1)
ezpolar('sin(t)')
subplot(2,2,2)
ezpolar('sin(2*t)')
subplot(2,2,3)
ezpolar('2*sin(2*t)')
subplot(2,2,4)
ezpolar('3*sin(2*t)')

从以上图形的对比中我们可以看出，对于曲线ρ=a*sin（k*θ）和ρ=a*cos（k*θ），a所控制的是“花瓣”的大小，而k所控制的是“花瓣”的数量.

7.关于“”型未定式：

（1）对函数,计算当x=0.1,0.01,0.001,0.0001,…逐渐趋于0时的函数值，并在x∈(0,1]上绘制该函数的图形.如果要求函数在x=0处连续，那么在x=0处应该取何值？

x=0.1:-0.001:0;
y=x.^x;
plot(x,y,'.')

从右图我们可以看出，随着x的越来越接近于0，对应的y值不断趋近于1,。所以若要求函数在x=0处连续，那么我们应该在x=0时取1。

（2）对函数,计算当x=0.1,0.01,0.001,0.0001,…逐渐趋于0时的函数值，并绘图。如果要求函数在x=0处连续，那么在x=0处应该取何值？

x=0.1:-0.001:0;
y=x.^(2./log(x));
plot(x,y,'.')

从上图我们可以看出，这是一个常数数列，经过计算我们易知，该值为e^2。所以我们在x=0时取y为e^2即可。

（3）对函数,计算当时的函数值，并绘图。如果要求函数在x=0处连续，那么在x=0处应该取何值？

x=0.1:-0.0001:0;
y=(x-sin(x)).^(1./log((tan(x)-x)));
plot(x,y) 

从下图中我们可以看出，当x趋近与零时，y值为e。则应在x=0时y取e。（在这个图中我们看到有一个突变的一部分，我们也可以经过计算一下极限值来确定我们的答案。

                                                                        ⅇ

（4）对任意的常数c(比如1/2)，能否构造以c为极限的“0”型未定式？请给出一个例子

当然可以构造，当我们知道一个0^0次方形式的极限后，在其后边加一个常数即可的到极限为c的未定式。

（5）从(1)一(4)的结论中你能得出什么结果？请说明理由.

由以上小问我们得出：对于0^0形式的函数，其极限并不唯一，有可能存在也有可能不存在，我们可以通过一个逼近来得出这个极限答案。

8. 计算函数当x=0.1,0.01,0.001.0.0001,…逐渐趋于0时的函数值，并绘制相应图形，说明当时它是无界量，不是无穷大量.

我先试了一下题上的函数，但效果不是很理想。所以我们不妨换成y=xsin（x），当x趋于无穷大时来思考这个问题。

 figure(1)
ezplot('(1/x)*(1/sin(x))',[0,0.01])
figure(2)
ezplot('x*sin(x)',[0,1000])

从右图我们更能清楚地看到，它是一个无界量而不是无穷大量。

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