堆排序heapSort

堆排序——排序算法笔记

1. 二叉堆

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树

二叉树特性：

1. 父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2. 每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

（1）大堆

父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值

(2) 小堆

父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值

2. 堆的存储

堆的逻辑结构是树，但是一般存储的方式是数组；

逻辑结构：

image.png

存储结构：

image.png

i 结点的父结点：(i - 1) / 2;

i 结点的左子节点：i * 2 + 1;

i 结点的右子节点：i * 2 + 2；

基本思路

1. 将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
   
   image.png
   
   第一个非叶子节点 1（arr[i] = 6）的计算：

方法一：

最末子结点 = length - 1；

最末子结点的父结点 = （最末子节点 - 1）/ 2

方法二：

length / 2 - 1

image.png

2. 找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换

   
   
   image.png

3. 将[图片上传中...(image.png-af7acd-1582374158730-0)]
   堆顶元素9和末尾元素4进行交换。

   
   
   image.png

4. 重新调整结构，使其继续满足堆定义

   
   
   image.png

5. 再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

   
   
   image.png
   
   

   ​ 实现这一步方式，直接将arr的length-1,长度递减

    for(int i = lens - 1; i >= 0; i--){
        swap(arr[0], arr[i]);
        heapify(arr, i, 0);
    }

问题：heapify只能完成一个节点的heapify

所以堆排中很重要的一点的是：

image.png

void buildHeap(int *arr, int lens)
{   
    //计算最底层的“第一个”父结点
    int last_node = lens - 1;
    int parent_node = (last_node - 1) / 2;
    
    //从底层开始向上回溯
    for(int i = parent_node; i >= 0; i--){
        heapify(arr, lens, i);
    }
}

参考链接：https://www.bilibili.com/video/av47196993?from=search&seid=5468598825988489537

递归方法的堆排序：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

void heapify(vector& nums, int lens, int index)
{
    if (index > lens)
    {
        return;
    }
    
    int left = index * 2 + 1;

    if (left < lens)
    {
        int maxIndex = left + 1 < lens && nums[left + 1] > nums[left]? left + 1 : left;
        maxIndex = nums[maxIndex] > nums[index]? maxIndex : index;
        if (maxIndex != index)
        {
            swap(nums[maxIndex], nums[index]);
            heapify(nums, lens, maxIndex);
        }        
    }
}

void heapSort(vector& nums)
{
    int lens = nums.size();
    for (int i = lens / 2 - 1; i >= 0 ; i--)
    {
        heapify(nums, lens, i);
    }

    for (int i = lens - 1; i > 0 ; i--)
    {   
        swap(nums[0], nums[i]);
        heapify(nums, i, 0);
    }
}

int main()
{
    int arr[5] =  {5,4,3,2,1};
    vector nums;
    for (int i = 0; i < 5; i++)
    {
        nums.push_back(arr[i]);
    }
    heapSort(nums);
    for (int i = 0; i < 5; i++)
    {
        printf("%d",nums[i]);
    }
    
    return 0;
}